Gödel的不完备性定理（二）

关于Gödel命题

我们以前谈到过说谎者悖论。它的一个变种就是下面的命题：本命题是假的。用S表示该命题，于是就等价于下面的命题S。

S：S是假的。

该命题到底是真还是假？

假如它是假的，说明S是假的，那么“S是假的”就是真的，也就是S是真的。如果它是真的，它断言“S是假的”，它又是假的了。S既真又假，既假又真，非真非假，叫人无所适从，这就是悖论之所在。

在给定的包含自然数在内的无矛盾的形式系统中，我们考虑下面的命题G。

G：G无法在系统内部得到证明。

这里，G是真还是假呢？我们先要注意一个假设，就是给定的形式系统是无矛盾的，G不可能既真又假，既假又真。要么G本身为真，要么它的否命题为真。

我们先看看G的否命题：G可以在系统内部得到证明。假如G是假的，它的否命题就应为真，也就是说假命题G可以在系统内部得到证明，这就有悖于无矛盾的假设了：一个假的命题，怎么可能得到证明？

于是就只有另一种可能，它是真的。它是真的，却无法证明，恰恰如它本身所断言的。所以G就是一个Gödel命题。这是一个多么奇怪的命题啊！

上面的证明，真的能够让人心服口服吗？命题G是大家能够接受的数学命题吗？

说谎者悖论所以是悖论，就在于命题的自我描述(self reference): 命题谈及到自身。上面的S和G都明显涉及到自我描述。为了避免在数学命题中出现自我描述，Russell和他的老师Whitehead费时几年合写了一部三卷本的书《Principia Mathematica》。他们以为达到了预期的目标：与数学有关的命题在他们设计的形式系统中不可能出现自我描述，因而就避免了悖论的出现。

Gödel的高明之处在于他巧妙的把命题G变成了一个符合Russell书中描述的真正的数学命题，从而引进了数学命题中的自我描述。这样一来，Russell他们的努力就毁于一旦。

接下来我们就要详细介绍一下Gödel的证明。为此得先谈谈什么是形式系统。

（未完待续）