与小孙女玩《数字华容道》（三）
杨益民
2023/08/02
没有关羽和曹操，只有数字和滑道。
无趣败兴会睡着，觉趣兴来乐淘淘。
第三次尝试与折腾：
首先，爷孙俩先回忆一下前面通过摸索找规律，得到的一个猜想：
当空白格在右下角时，逆序数是奇数不能还原，逆序数是偶数就能还原。
下面我要设法引导小孙女明白这个猜想的证明。
于是，首先我和小孙女开始了下面的问答。
问：“恬恬，你知不知道有一种哺乳动物不是生宝宝，而是生蛋的吗？”
答：“知道，有两种，一种是鸭嘴兽，还有一种是针鼹。它们都是哺乳动物，但是它们都是生蛋的。它们生活在澳大利亚，澳大利亚是一片岛，都不跟其它地方挨着，鸭嘴兽和针鼹可以自由自在慢慢进化。如果与其它地方挨着，它们这样生活可能就竞争不过其它动物，它们就可能没了，这个物种就灭绝了。”
哈哈！很不错！没想到，问她一种动物，小孙女居然举出两种动物，而且还讲出这么一套大道理。
于是，我先大大表扬了小孙女一番。然后回到正题，接着我们的问答对话。
问：“那即使我们看见许许多多哺乳动物，比如牛羊猪狗猫鼠都是生宝宝的，我们能不能断言‘只要是哺乳动物都生宝宝啊？’”
答：“不能！”
问：“恬恬，那我们前面举过好几个例子，空白格在右下角时，逆序数是奇数不能还原，逆序数是偶数就能还原。我们能不能说这个结论是肯定的？”
答：“不能，因为我们没有试过所有的，不知道它们是不是都行。”
小孙女回答的非常好，所以，不完全归纳会给我们启发或猜想，但我们不能从中归纳得出全部的结论。我们接着对话。
问：“那我们能不能把所有情况都试一遍呢？”
答：“可能不能吧？那也太多了。”小孙女疑惑的望着我。
问：“你知道这15个数的所有排列有多少吗？”
答：“不知道，肯定有好多好多。”
于是，我告诉恬恬：《数字华容道》的所有情况是1―15这15个数的全排列，也就是15！。
比如：3个数1、2、3的全排列相当于要将这三个数排到三个位置中，那么第一个位置可以有三种排法；第一个位置排好后，第二个位置就剩下两种排法；前两位置排好后，最后的第三个位置就只剩一种排法了。所以共有：
3! =1×2×3=6（个）
也就是：123，132，213，231，312，321。
小孙女有些蒙，转不过弯来。不要紧啦！于是我告诉她：不要着急，以后慢慢会懂的，先记住下面的结论就行了：
几个数的全部排列共有：1×2×3×……×（几），这种连乘积数学上称为阶乘，记作“几！”，也就是：
几！=1×2×3×……×（几）
例如：
1、2、3这三个数的全排列等于3! =1×2×3
1、2、3、4这四个数的全排列等于：4！=1×2×3×4
问：“15个数的全排列等于多少呢？”
“我知道了是15的阶乘15！，就是
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15”小孙女兴奋地说。
“对啊！那你知道15！这个数有多大吗？”
然后我用手机计算器算给小孙女看。
10! =1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800
11! =1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11=39916800
……
小孙女知道：个位数有一个数字，十位数有两个数字，百位数有三个数字，千位数有四位数字，反正数字越多，数就越大。
于是，小孙女知道：反正15！是一个很大很大的数，太大了！因此，我们不可能把《数字华容道》的全部排列都试一遍的。
那该怎么才能知道咱们得到的猜想是不是正确的呢？
1、找个反例破坏这个猜想。
2、设法证明这个猜想。
下面就是我引导小孙女进行证明的思维过程：
问：“平行滑动和竖直滑动，谁会影响原排列的逆序数？”
小孙女稍一思考就得到答案：“平行滑动不会，竖直滑动会。”
问：“平行滑动不会影响原排列的逆序数，这个结论很显然。但竖直滑动将如何影响原排列的逆序数呢？”
答：“不知道，反正会影响！”
小孙女说不出道道来，于是我提示她可像前面找规律，得到猜想一样。认真做几个试验，试一试，仔细观察竖直滑动，将会影响几对数的逆序数啊？
小孙女的第一个试验：见下图当数字块7上下滑动时，哪几个数与7的前后位置发生了变化呢？
小孙女看出来5、10、8三个数与7的前后位置（逆序）发生了变化。
7下滑时，原数对（7，5）（7，10）（7，8）变成了（5，7）（10，7）（8，7）；
7上滑时，与下滑正好相反。
亦即：无论上滑还是下滑，5、10、8三个数与7的顺逆关系发生了改变。
小孙女的第二个试验：见下两图，上下滑动11
小孙女发现：与第一个试验一样，也是三个数（8、7、9）与上下滑动的数字的前后位置（逆序）发生了变化。
我继续提示：“注意哦，这是一个4×4，也就是4行4列的《数字华容道》哦，每一行都有4个块，那是不是无论如何滑动，都必然有3个数字块与滑动块的前后顺序发生变化啊？”
“是的。”小孙女稍一思考明白了。
通过上面的试验观察后，我进一步提示小孙女：
偶数+偶数=偶数，
偶数+奇数=奇数，
奇数+奇数=偶数。
……
小孙女恍然大悟：“爷爷，我知道。”
“是吗？那在这两个例子中，竖直滑动字块，原排列的逆序数的奇偶性变没变？”
小孙女很快回答道：“变了！”
问：“为什么？”
答：“有三对数的逆序变了啊，逆序数就变了三次啊！”
问：“为何逆序数变了三次，排列的奇偶性就变了呢？”
答：“爷爷，你看嘛。变三次也就是：
偶数、奇数、偶数、奇数；
或者：奇数、偶数、奇数、偶数。
所以排列的奇偶性就变啰。”
小孙女回答的非常棒。
是的！很显然无论竖直滑动哪个数字块都会有三个数字与它的前后顺序反生变化！
于是，我们得到结论（或命题1）：
命题1：平行滑动不会影响原排列的逆序数，每次竖直滑动都必将改变原排列的逆序数和奇偶性。
接着我提示小孙女，在一盘游戏中，我们会将许多数字块滑动。这么多数字块滑动，有点乱，我们可不可以用一个块的滑动来等价代替所有其它数字块的滑动呢？这样往往能使我们将问题由复杂变简单，也有利于我们抓住问题的核心。这叫做“透过现象看本质哦！”
小孙女一筹莫展，蒙了！
于是，我问小孙女：“任何数字块的滑动是不是都可以看成是空白块的滑动？”
数字块水平（左右）滑动等价于空白快水平（右左滑动）；
数字块竖直（上下）滑动等价于空白快竖直（下上滑动）。
“是啊！”小孙女明白了。
于是，我们是不是可以将前面的命题1改为：
命题2：空白块水平滑动不改变排列的逆序数，每次空白块的竖直滑动必将改变排列的逆序数和奇偶性。
下面我开始引导小孙女正式证明猜想
首先提醒小孙女注意：如果游戏开始时，初始的排列是奇排列，且空白块在右下角，而最终的目的是通过数字块的滑动，使其变成自然序：
即：无论你如何滑动，游戏结束时，空白块最终要回到初始位置（右下角）。
问：“那空白块必须竖直滑动奇数次还是偶数次啊？”
小孙女想了想，肯定地答复：“偶数次！”
然后，我们又通过几个实际例子的滑动，让小孙女加深印象和理解。
我继续发问：“根据命题2：我们是不是可得下面命题3啊？”
命题3 空白块水平滑动和偶数次竖直滑动都不能改变排列的奇偶性。
答：“是！”
问：“自然序的逆序数为偶数0，如果初始排列的逆序数为奇数，通过滑动数字块，能还原为自然序吗？”
小孙女有点迷糊，我进一步提示道：“自然序的空白块在右下角，游戏完成时空白块也要回到右下角哦！”
这下小孙女明白了：“空白块必须竖直滑动偶数次，游戏才能完成，所以开始是奇排列，就不能还原！”
太棒啦！于是我们得到如下定理1：
定理1 对于4×4阶《数字华容道》游戏，如果游戏开始时，空白块位于右下角，排列为奇排列，则它不可能通过滑动变成自然序。
今天的内容对小孙女有点难度，游戏结束时，小孙女问我：“爷爷 今天我听懂了，但过段时间我又忘了，怎么办啊？”
“多玩几次呗，多玩几次就不会忘了。即使忘了，也没关系啊！忘了就忘了，感受了这个思考问题的过程，久而久之你就会受益的！”
好了，又到了“一休哥，休息，休息啦！”
（未完待续）
