1855年2月，伟大的数学家Gauss离世了，他在哥廷根大学的位置空了下来。为了填补这一空缺，大学招来了Dirichlet。当时Dirichlet在柏林大学任职，这样他在柏林大学的位置就空出来了。Dirichlet推荐了Kummer接替他的位置。
Kummer是Breslau大学的教授，他一走，他的位置又空下了。Kummer知道，Weierstrass是该位置的热门人选。他不想让Weierstrass得到这个位置。为什么呀？他们有仇吗？没有，Kummer有点私心，想让Weierstrass去柏林，这样他们好共事。于是Kummer推荐了自己以前的一个学生Joachimsthal。
Kummer曾经在Liegnitz的一所高中教过十年书，学生中有两位数学才华出众，其中一位就是Joachimsthal，另一位是Kronecker。Liegnitz那时是德国的城市，现在归属波兰，改名为Legnica 了。
Kummer的全名是Ernst Eduardo Kummer，生于1810 年1月29日，1893年5月14日在柏林去世。
Kummer的爸爸是位医生，在Kummer只有三岁的时候就过世了。当时拿破仑的法国军队入侵德国，带来了可怕的伤寒传染病，他爸在治病过程中劳累过度，不幸染病身亡。他家生活的重担就落在他妈一人的肩上了，生活的清苦是可想而知的。1828年他18岁的时候进了Halle大学学习神学。
人的一生有不少偶然，Kummer的偶然是碰到了一位叫Heinrich Ferdinand Scherk(1798–1885)的数学教授，引起了他对数学的热爱，在他大学三年级的时候解决了一个数学难题并获得博士学位。当时大学没有合适的位置，他就在1832年进了Liegnitz一所中学任教，一教十年。
1836年Kummer在Crelle的杂志(那个发表Abel论文的杂志) 上发表了一篇关于超几何序列的论文，并给数学家Jacobi 寄了一份拷贝。这样他就和Jacobi 以及后来和Dirichlet建立了联系。1839年，在Jacobi和Dirichlet的推荐下，Kummer当选了柏林科学院院士。这下Jacobi意识到，必须给Kummer找一个大学的位置了。1842年，Kummer在Jacobi的推荐下得到了Breslau大学数学系教授的位置。
还记得前面提到的Fermat猜想吗？由于该难题的久攻未克，法国科学院提供了一个金质奖章和3000法郎的奖金，奖励解决此难题的人。
1847年3月1日，Gabriel Lame 在巴黎科学院做了一个演讲。几年前他证明了Fermat猜想在n=7时的正确性。此时他站在讲台上，宣称他已经在攻克难题的边缘。是的，眼下的证明并未最后定稿，但几周之后就会有完整的证明。
台下的听众惊呆了，Lame 刚下讲台，著名的数学家Cauchy就站起来说，他要借此机会说几句话，他同Lame一样，几周之内也要给出完整的证明。
这样一来，听众沸腾起来了，奖牌和奖金将会花落谁家？
Cauchy 和 Lame 都知道时间紧迫，必须争分夺秒。在大家的殷切期盼中，他们在四月都给出了各自的证明。证明都不太严谨，有点含混不清。大家都在揣测，谁将最先给出严谨的证明呢？
5月24日的一项声明，终于平息了大家的好奇之心。给出声明的既不是Cauchy也不是Lame，而是数学家Joseph Liouville。Liouville宣读了德国数学家 Ernst Kummer的一封来信，信中说：他研究过了Cauchy 和Lame 已经透露的论文细节，知道他们都陷进逻辑上的死结，就是他们都依赖关于数的因子分解的唯一性。因子分解的唯一性对通常的整数是对的，但对Cauchy 和 Lame 所需要的数是不对的，因为他们所涉及的数包含了虚数。Kummer 给出了具体的例子，表明因子分解并非唯一。同时他又进一步指出，对有些素数 n，可以证明所需要的因子分解唯一性是成立的，因而对这类素数 n 相对应的 Fermat 猜想是成立的。对于那些使得因子分解不唯一的素数，他称之为非正则素数，就需要另寻它径证明Fermat猜想。比如他能证明，在小于100的素数中，只有37，59和67是非正则素数，因此在 n 不超过100时，如果 n 是异于37，59 或 67时，所对应的Fermat猜想是成立的。这样虽然他并未完全证明Fermat猜想，却把对该问题的研究推进了一大步。
Kummer的信件对Lame打击很大，他感觉闹了一个笑话。在给Dirichlet的信中他写道：“要是你在巴黎，或者我在柏林，这一切就不会发生了。”
Dirichlet是因严谨而出名的，只要和他探讨过这个证明，他一定能发现漏洞。原来早在1843年，Kummer就有了类似的想法，以为自己证明了Fermat猜想，他告诉了Dirichlet自己的证明，就是后者发现了问题，让他继续不断地得以改进。
1857年，Cauchy总结该奖的进展情况，指出虽然获奖期限一再延期，法国科学院总共收到11篇相关论文，却没有一个真正证明了猜想，因此该奖委员会决定，将该奖授予做出重要贡献的Kummer先生。
Kummer并未参与该奖的竞争，却意外获得奖章和奖金，真的是有心栽花花不开，无心插柳柳成荫。
接下来说说Weierstrass，他的全名是Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，生于1815年10月31日，1897年2月19日在柏林去世。
Weierstrass兄妹四人，他是老大。在他8岁的时候，他爸成了税务官，因而必须经常变换工作地点，他也不得不经常更换学校。1827年他妈去世了，一年之后他爸再婚，1829年他爸升了职，成了Paderborn 税务局的助手，这样Weierstrass 就进了当地的一家教会中学。为了补贴家用，他找了份帮人记账的课外工作，同时他的学业也很优秀，获得不少奖励。他的数学成绩更加突出，水平远远高于中学的水平。他爸很开心，为他设计好了光明的未来。1834年中学毕业，他被送进了Bonn大学，学习法律，财经和经济。这些东西学好了，他就能前程似锦，一片光明。
这些并非他所爱，由于没了大人的约束，他学会了击剑和喝酒，而对他爸指定的专业没有兴趣。他身材高大，身手敏捷，据说击剑没有对手。四年后他两手空空回到家里，没有带回任何学位。爸爸的失望可想而知，曾经的未来之星，就这样平淡无光，爸爸极度伤心，曾经一度对他不理不睬，视若无物。
在一位亲戚的调和下，他爸同意再给他一次机会，让他进了一所职业学校，将来可成为中学老师。
1839年5月22日，Weierstrass 成了Theological and Philosophical Academy of Münster 的一名新生。学校有位数学老师，名叫 Christoph Gudermann，Weierstrass跟他学习数学，学会了用无穷级数研究椭球函数。
1842年Weierstrass 取得了教师资格证，开始了他的教师生涯。他先后在几所不同的中学任教。作为中学老师，他不仅要教数学 ，还要教物理，历史，地理，德语甚至体操等课程。晚年他回顾这段日子，说那真是枯燥乏味的一段时光。他在中学呆的时间，比Kummer还长几年。
1854年39岁的时候，他在Crelle 的杂志上发表了一篇关于Abel函数的论文，引起了轰动，一向默默无闻的Weierstrass一时间得到了大家的认可。仅仅因为这篇论文，Königsberg 在同一年给他颁发了荣誉博士学位。他也终于在1856年10月被聘为柏林大学的数学教授，和Kummer真的成了同事。
Weierstrass发表的文章不多，他的很多结果都是在课堂上宣布的，不少都是由他的学生整理课堂笔记后得以发表。他是一位优秀的老师，培养出了不少著名的数学家。由于他对数学分析的杰出贡献，被称为现代分析之父。
Kronecker 是Kummer另一位数学才华出众的中学生。
Leopold Kronecker，1823年12月7日出生于Liegnitz，1891年12月29日于柏林去世。
1841年Kronecker 进了柏林大学读书。他兴趣广泛，对数学，天文和哲学都有涉猎。1843年夏天在波恩大学学习天文，1843–1844年又到Breslau大学学习数学，因为他的中学老师Kummer已是那里的教授。然后回到柏林大学，1845年在Dirichlet的指导下完成博士论文，研究代数数论。
Kronecker是富家子弟，从小家里就不缺钱。博士毕业后，一位富有的舅舅去世了，他去帮忙料理舅舅庄园的财务，并在1848年和他的表妹喜结良缘。当他不用再呆在自己的庄园亲力亲为时，于1855年回到了阔别十年的柏林。他非常富有，不需要任何职位，可以专心致志做他喜爱的数学研究。接下来的几年他发表了不少文章，并于1861年成了柏林科学院的院士。
柏林科学院的院士有一项特权，虽非职员，也可以在柏林大学教课。在Kummer的劝说下，他就在柏林大学正式授课了。
这时的柏林大学有了Kummer， Weierstrass和 Kronecker等数学大师，吸引了不少优秀的学生，成了当时的数学研究中心，他们三人也成了要好的朋友，这种友谊持续了二十多年。1883年Kummer退休，Kronecker 接替了他的位置，终于有了柏林大学的正式职位。
Kronecker是个代数学家，在代数数论和Galois 理论上都有原创性研究，对离散结构独有情钟，他的名言是：上帝创造了整数，其它都是人为。他认为数学应该仅局限在整数以及有限次数的运算。因此对无理数超越数非常抵触，觉得那是根本不存在的东西。一开始他只是私底下表达自己的观点，从1870年开始，就慢慢的将其观点公开化了。
偏偏他的好友Weierstrass是个伟大的分析学家，就是他提出用有理数序列去无穷逼近无理数，分析中的Bolzano-Weierstrass定理更以其存在性而非构造性证明闻名于世。这样他们对数学观点不同就公开化了。
Weierstrass身材魁梧，Kronecker身材矮小，在他们的争执中往往是后者处于攻势，前者处于守势，给人的印象就像一只小狗总爱对庞然大物圣伯纳犬发动攻击。到了1888年，Weierstrass有点受不了了，一度生出离开柏林去瑞士的念头。他对朋友说，自己和Kronecker的友谊算是结束了。奇怪的倒是Kronecker还称Weierstrass是他的好朋友。
后来Weierstrass担心，一旦自己离开柏林，他的后继人选就由Kronecker说了算，会对柏林的数学界产生深远影响，最终决定留下来。
Kronecker对Weierstrass的伤害不是最严重的。有位叫Cantor(1845–1918)的柏林大学的学生，被他训斥为骗子和堕落的年轻人，忍受的痛苦更加持久和巨大，我们已在数学家的故事中提到。
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