Gödel的不完备性定理（五）

奇妙的Gödel命题

我们了解了形式系统，也知道了Gödel数，现在就该谈谈如何构造一个Gödel命题了。

当然还得做一些准备工作。先谈谈什么是单变量命题函数P(n)。我们都知道数学意义上的函数。命题函数也差不多，就是任意给定n一个特定值，我们就有一个与n有关的命题。

先看几个例子：

E(n)： n是一个偶数。
P(n)： n是一个素数。
S(n): n是一个平方数。

在没有赋予n特定值的情况下，命题是不确定的。一旦n的值确定了，命题就确定了，也就可以判断真假了。比如E(10)为真，P(30)为假，S(49)为真，等等。关于命题函数，有一个有名的引理，叫做不动点引理，或者对角线引理，具体描述如下：任意给定一个命题函数P(n)，一定存在一个自然数m使得m=$\mathcal{G}$(P(m))，这里的$\mathcal{G}$(P(m))是命题P(m)的Gödel数。

接下来我们考虑一个特殊的命题函数T(n)：n不是一个定理数。

还记得什么是定理数吗？一个数如果是某个定理的Gödel数，它就是一个定理数。

如果对某个命题P我们知道它的Gödel数是n，并且还知道n不是定理数，我们也就知道了P不是一个定理，就表示P在系统内没有证明。

由不动点引理，一定有一个数m使得m=$\mathcal{G}$(T(m))。我们来看看这是啥意思。注意这里m是一个具体的数，所以T(m)是个具体的命题。这里m是个定理数吗？假如它是定理数，就表示T(m)是个定理。但T(m)说m不是定理数，导致矛盾，所以m不可能是定理数，也就是说T(m)不是定理，不能在系统内部获得证明。

T(m)是真的吗？T(m)是真的，因为它说的正是m不是一个定理数。

所以T(m)是个真命题，但却无法证明，它是一个完全彻底的Gödel命题！大家请注意，T(m)说m不是一个定理数，是一个完完全全的数学命题。

一个完完全全的数学命题，做到了巧巧妙妙的自我描述。

奇妙吗？

难道不奇妙吗？

（未完待续）