希尔伯特的旅馆

希尔伯特旅馆是德国数学家Hilbert 希尔伯特发明的旅馆，那里有无穷多个房间，房间号依次为 1，2，3，……，经理就是数学家 Cantor。

新开张的旅馆信誉好，生意兴隆，天天客满，房客店主都很开心。

有一天来了一位新客人，找到店小二，要住店。店小二挠挠头皮，说：我们已经客满，每个房间都有人了，没办法啊，对不住了。

旁边的 Cantor 说：怎么没办法？有办法！

他吩咐小二：通知房客，所有人都搬到比他房间号大一号的房间去住。也就是说，住 1 号房的房客搬到 2 号房，2 号房的房客搬到 3 号房，依次类推，这样 1 号房就空出来了。

店小二虽然没上过多少学，却是一个聪明人，触类旁通，以后就是来一千来一万，他也不怕了。

过了一些日子，又遇上了新问题。那天一开门，外面来了无数的客人。不是文学上的夸张，是真的无数。小二傻眼了，这可咋办啊？

旅店客满不是问题，问题是一下子来太多了呀。

Cantor 说：太好办了。他吩咐小二，你去通知现有房客，让他们搬去他们现有房号的两倍房号那里去。这样，1 号房客住进了 2 号，2 号房客住进了 4 号，3 后房客住进了 6 号，等等，所有的奇数号房都空出来了。于是新来的客人都可以入住
了。

店小二人聪明，擅长举一反三。比如有一天，旅馆外来了两辆客车，每辆车上都有无穷多的客人，怎么办呢？不能事事都找经理，他自己就动脑子想出了点子。他通知现有的房客，让他们都搬进现有住房号三倍的那号房去。这样，1 号房客搬进了3 号，2 号房客搬进了 6 号，于是，1 号 2 号空了出来，4 号 5 号空了出来，依次类推，然后按排第一辆车的第一位客人住 1 号，第二辆车的第一位客人住 2 号，第一辆车的第二位客人住 4 号，第二辆车的第二位客人住 5 号，等等，等等，所有的客人就都安排妥当了。

日子一天天过去，店小二也越来越成熟。不过有一天，又碰上难题了。这一次来了无数辆客车，车车都载着无数的客人，这一下他的聪明脑袋只好再一次发矇。

没办法，只能找经理。

Cantor 说：别急，照样有办法。

你让现有的住在 i 号房的客人搬进 2^i 号房，这样所有的奇数号房都空出来了，当然还有不少偶数号的房也空出来了，比如，6 号，10 号，12 号，等等。然后我们把所有的奇素数排好，分别叫 p1，p2，p3，……，接下来你这样安排新来的客人：第 i 辆车上的第 n 个客人，你让他住进(pi)^n 号房。

店小二跟着 Cantor 已经有一段日子了，对素数已经有了一些了解。他知道奇素数有无穷多，按顺序排出来就是：3，5，7，11，13，17，……，也就是 p1=3，p2=5，p3=7，p4=13，p5=17，……。他安排好了客人，长长舒了一口气。不光客人安排妥当了，还有无穷多的房间空了下来，以后再来些零散客人，他都不用费脑子了。

这时店小二突然想起：自从旅馆开业以来，还从来没有客人退过房，而新来的客人却有增无减，怎么开着开着，反而空出无穷多的房间？

这个希尔伯特旅馆，真是邪了门了……