【金碧辉煌的圣殿】（3）Johnson’s Theorem

挂在我家墙上的几何图案中，有一个是在正方形的镜框里面。这个几何图形包含四个圆，（我认为）极其优美。它显示的是Johnson’s theorem。

《几何原本》写于公元前4世纪，此后的几何规律和定理又被一代代数学家和爱好者不断发现和证明。一些有相当难度、很隐蔽的规律，比如下图所示的“欧拉线定理”，也被欧拉这样的天才数学家在260年前发现并证明了—

然而这座“金矿”似乎总有开采不完的金子。上一篇我们聊了Morley’s trisector theorem，它是在19世纪的最后一年，即1899年被揭示的。那么，到了20世纪，还能不能有那样简明而优美的发现呢？没问题！

Johnson’s Theorem 发表于1916年，已经是20世纪了。它是这样表述的：“如果三个半径同为r的圆经过一公共点H，那么经过另外三个交点的圆的半径也是r 【Given three circles of equal radii r that all pass through a common point H, then the circle through their other three intersections has the same radius r.】换句话说，以另外三个交点为顶角的三角形，其外接圆与原先那三个圆是全等的。简单不简单？

发表这个定理的，是美国数学家Roger Johnson。他1913年获得哈佛大学数学博士学位，不久以后进入纽约的Hunter College数学系。他后来长期担任系主任直到退休。Roger Johnson不是大数学家，他一生仅发表十几篇论文（包括上图中所示的仅一页的关于该定理的论文 A circle theorem。）但他的一部探讨欧式几何复杂问题的专著Modern Geometry – An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (Houghton Mifflin, 1929) 却在几十年里颇欢迎。现在这本书的全文都可以在网上阅读。

这篇小论文最后一段的讨论，其口气很有意思：我这发现啊，“appear to be new”，可是它如此简单，明确，两千多年来难道所有的人都忽视了？我有点儿心虚啊。读者们，你们如果发现我不是原创，请报告…… 这种论文的写法今天肯定是没有的。

上面两个图看起来有些深奥，其实只是前面那个图稍加扩展。图A显示了第五个圆，它是以三个圆的交点H为圆心，作一个圆，经过另外三个圆的圆心，显然这个圆的半径也是r，所以这个图中五个圆的半径都相同。图B我不细解释了。有一点几何童子功的网友马上就能看出来，那个红色大圆的半径为2r。那三个半径为r的圆无论怎样移动，只要有共点H，它们始终都是与大圆内切的。

上面这个图，进一步表现这个几何结构的特点：无论是把六个相关的点连成两个中心对称的全等三角形，还是连成如立方体的透视图，深层次的规律是“万变不离其宗”的。以橙红色代表的Johnson环的半径为r是不变的。

说到这里，故事并没有完…… Johnson的论文发表后又过了很多年，人们才发现，这个规律其实早在之前八年，即1908年，已经被一个叫Gheorghe Titeica的罗马尼亚人发现并证明了。我本人在知道这件事以后，一开始以为这位Titeica先生是罗马尼亚的某个偏远地区的小镇做题家，没有话语权，让美国佬Johnson占了便宜。

我完全错了。Titeica是罗马尼亚著名数学家。他在法国获得博士学位（法国的数学在18-19世纪是世界上最牛的），他是罗马尼亚微分几何（differential geometry）的奠基人，他在罗马尼亚国家科学院长期担任高职，他是罗马尼亚数学学会的主席。作为知名学者，他还是国际数学大会（ICM）几何分支的主席。他发表过几百篇论文，学生中也出了著名数学家，他儿子是知名量子物理学家，而且他本人还是小提琴高手，他牛得很。

有一天他拿着一枚5-lei 硬币，画了3个共点的圆，突然意识到还有一个全等的圆隐含在里面，他画了出来。至于证明，对他来说实在是小菜一碟。这个平面几何的小问题，简单又直观，他根本不认为是什么大的发现。恰巧这时候罗马尼亚的《数学学报》（Gazeta Matematica）有一个开放性的数学竞赛，让参赛者自己提出命题并证明。当时在布加勒斯特大学当教授的Titeica，就把自己刚刚发现的“the five-lei coin problem”加上证明，用罗马尼亚语撰写后递交上去了。那是1908年。

Titeica教授在数学方面的贡献，根本不以这个“小儿科”发现说事儿。1961年罗马尼亚为他专门发行了一枚邮票，是表彰他在微分几何方面的成就和他的leadership。Titeica也不争什么名分，倒是数学爱好者们常有不平。Roger Johnson虽然是独立发现了相同的规律，但Gheorghe Titeica毕竟比他早8年，也是（用非英语）记录在案的。若称该定理为Titeica-Johnson’s Theorem 应该更公平。我同意这一点。

到了1999年（Titeica已经去世整整60年了），第40届“国际数学奥林匹克”（IMO）在罗马尼亚举行。那神秘的第四个圆再次静悄悄地浮出水面，嵌入大会的Logo（见上）。我认为这个极好的设计 — 第一，第四个圆正好用到“40”里；第二，这是罗马尼亚学者首先发现的；第三，这是属于基础数学范畴，与IMO正相配；第四，定理简明、图形优美、Logo设计相当美观！

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