有趣的找怪球问题 (4)

回到我们的12球问题现在就不难解了，它只是猜数问题的简单推广。只不过现在我们通过天平获取信息。

一次天平能给我们提供多少信息？

一次天平可能有三种结果：左重，右重，左右平衡。如果能让三种可能出现的概率相等，获取的信息量就最大了。

不难理解，为什么我们先左右各放4球了，因为这时三种可能的概率都是1/3，信息量最大。

接下来稍有点难，因为这时要么变成4个灰球问题，要么变成4个白球4个黑球的带有部分信息的8球问题。

4个灰球问题通过它们自己是不可能两次就找到怪球并知轻重的，但因为有正常球可以借用，就不难了。

剩下的8球问题如何做呢？这时不可能有三种可能的概率都是1/3的办法了，最最接近等可能的分布就是(3/8,3/8,2/8)。因此任何能够达到此分布的称法获取的信息就是最大可能了。我们前面用的就是方法之一，当然还有其它的办法。

比如我们留下3个黑球不上天平，它们中有怪球的概率是3/8。剩下的4个白球和一个黑球怎么办？可以天平两边各放2个白球，左边放1个黑球，右边放1个绿球，这是左重右重的概率各是多少？

左边为啥重？有两种可能：怪球是左边的黑球或者是右边的两个白球之一，其概率是3/8。右重的概率是2/8。这种称法也一样可行。

为什么12球问题至少需要称3次？我们先弄清怪球的概率分布。为方便起见我们给球分别用 $1,2,\cdots,11,12$等标上号。一个球是怪球有轻重两种状态，所以12球有24种可能的状态，就是1号重，1号轻，2号重，2号轻，等等。这些状态是等可能的，所以其概率分布为

$(1/24,1/24,\cdots,1/24)$

它的熵就是$log_3(24)>2$。因为我们每次最多可以获取$log_3(3)$=1的信息量，所以至少需要3次。

1978年16岁入江西冶金学院数学师资班。毕业后入中国科学院应用数学研究所读研。1986入美国Rutgers大学数学系攻读博士学位，研究方向组合数学。现在美国人口普查局(Census Bureau)工作。在工作和数学研究以外，对数学史也很有兴趣。