许仁忠：19世纪的欧洲科学技术与第二次工业革命(136)

（续）第十一篇 教学相长   学在教中 — 我的教学心得与感悟

D：19世纪的欧洲科学技术与第二次工业革命

19世纪欧洲的科学技术有了惊人的发展，取得了让人目不接暇的璀璨多彩成果。数学物理学化学生物学无论哪一个学科，都有了跨越式的飞跃发展，其中物理学中电磁感应的发现以及由此带来的技术改革，尤为令人瞩目，他直接引发了第二次工业革命。现代科学的基础学科，几乎都是在19世纪奠定的。

19世纪的数学不再受限于它的对象及方法，呈现出一种前所未有的多样性，开始成为一门独立的、有着自己对象和理论体系的科学，同时为20世纪数学的发展奠定了基础，19世纪是数学创造精神和严格精神高度发扬的时代。

高斯1801年《算术研究》一书的问世，开创了数论研究的新纪元，明确了数论研究的方向，数论开始发展成一门系统的学科。分析方法的引进，形成了解析数论。狄利克雷是第一个用解析方法解决数论大问题的数学家，他在1837年用狄利克雷级数证明了每一个算术序列中包含无穷多个素数。狄利克雷的工作开辟了近代解析数论的研究领域。他在1863年撰写了一部《数论讲义》，这是继高斯《算术研究》之后数论史上的又一经典著作。

由高斯在19世纪初所开创的代数数论的研究，到19世纪晚期已成为内容丰富的现代数学分支。1844年，库默尔在研究费马大定理时提出了理想数理论。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数，重建了代数数域中的惟一因子分解定理，创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径，得到相似的概念，创立了有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的方法。

19世纪几何学的特点在于几何学对象的扩大，几何学研方法的多样性，几何学的成果多姿多彩。非欧几何学的产生，打破了传统欧几里得几何学的一统天下，黎曼对几何学观念的进行了革新。自古希腊，欧氏几何被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型，是严格推理的典范。但欧氏几何中平行公设引起历代数学家的关注，困扰了数学界千百年，终于高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶几乎同时各自独立地解决公设疑问。

19世纪几何学的特点在于几何学对象的扩大，几何学研方法的多样性，几何学的成果多姿多彩，特别是几何学对整个数学产生持续的影响。

非欧几何学的产生，打破了传统欧几里得几何学的一统天下，古希腊欧氏几何被认为是客观物质空间唯一正确的理想模型，欧氏几何中平行公设引起历代数学家的关注，困扰了数学界千百年，终于高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶几乎同时各自独立地解决公设疑问。黎曼提出了黎曼式的非欧几何，发展了高斯的曲面论，创立了内蕴几何学，以流形为研究对象，由此几何学由图形的研究转变为对空间的研究，而且空间不再局限于三维空间，而是任意维的高维几何学的发展。黎曼明确区别了几何对象的拓扑性质及度量性质，还把解析几何学转变为代数几何学。使得几何学研究的对象迅速增多，形成了多种多样的学科。

19世纪的几何学能够得到如此令人震撼的璀璨多彩的结果，如同数论的很多成果是与费尔马不经意的写在书边上的一段神来之语一样，也是与欧几里德先生《几何原本》中第五公设的奇特叙述相关，它再一次向人们展示了好奇和疑问会催生出许多意想不到的事情，也会带来很多意想不到的结果。

在欧几里德的《几何原本》中，几乎所有的定义公里定理叙述都十分严谨，唯独第五公设也就是我们今天所说的平行公理，它没有像今天这样的表述的简洁明了：“经过直线外一点可以做，并且并且只能做一条直线与它平行”，如果当年欧几里德先生是这样叙述第五公设的，后来的事情和结果也许未必有这么多。

但欧几里德先生在严谨的《几何原本》中叙述第五公设时，用了一段十分冗长让人感到与整个《几何原本》的文字风格大相径庭的语言：“如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交”。这种叙述使后来读到它的人很容易并且几乎都产生了一个疑问：它是一个公理吗？他会不会。或者应不应该是一个定理。

于是在后来的2000年左右的吋间中，成千上万的数学家和数学爱好者在质疑第五公设的合理性时，都在探索能不能把它从公里降为定理，也就是说试图想用其它的公理及相应的定义与定理去证明它，它耗费了无数的数学家和数学爱好者的精力和时间，但都很遗憾的让他们无功而返，没有人能够证明它，在整个《几何原本》的体系中，第五公设都只能是一个公里，而不能是一个定理。

这种长时间和大量的无功而返，让研究它的人很自然的产生了一个问题：既然第五公设只能是一个公理，那么我们在承认它是公理的同时，改变一下安的描述又会有怎样的结果呢？比如，我们确定“经过直线外一点存在着二条、二条以上甚至无数多条直线与它平行”，又会产生什么样的结果？也就是说会产生什么样的几何体系呢？有了这样的思路，非欧几里德几何便自然。应运而生了。

在18世纪数学分析已发展为有着丰富内容和广泛应用的一门学科，但它没有形成逻辑严密的理论体系，甚至最基本的概念如函数、导数、微分、积分、极限、连续性等都还未给出严密的定义。19世纪分析的严格化始于高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔和狄利克雷的工作，后由外尔斯特拉斯做了进一步发展。

分析的严格化促进了实数理论逻辑基础的建立。1872年，外尔斯特拉斯、康托尔、戴德金等数学家在确认有理数存在的前提下，通过不同途径给无理数以精确定义，经过不少数学家的努力，最终由意大利数学家佩亚诺于1881年建立了自然数的公理体系，并由此从逻辑上严格定义了有理数理论，分析基础的严格化得到了理想的完美的实现。

19世纪代数学最突出的成果是阿贝尔于1824一1826年间证明的“五次及五次以上的一般方程没有根式解”。1830年，皮科克的《代数学》问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究，为代数结构观点的形成及代数公理化研究做出尝试。代数学最重要的思想来自数学史上的传奇人物伽罗瓦，他在1829一1832年间，提出了“群”的概念，并用群的方法解决了代数方程的可解性问题，引起了代数思维观念的转变。

19世纪未期，随着分析严格化的完成，数学家们开始对数学基础进行深入的探讨。康托尔在探讨实数定义的同时，从1874年起发表一系列有关无穷集合的文章，开创了基础性的数学分支——集合论。康托尔把无穷集作为研究对象，通过一一对应，区分无穷集的大小，定义了集合基数，引进序型、序数以及一些属于拓扑学的基本概念，他提出了著名的连续统假设。康托尔的工作影响十分深远，但早期遭到包括克罗内克在内的一些著名数学家的激烈反对。到19世纪末，阿达马等证实了康托尔的理论在分析学中的重要应用，才使集合理论得到转机，并成为20世纪数学研究的一个基础。

随着佩亚诺关于自然数公理体系和帕施关于射影几何公理体系的建立，在19世纪末出现了数学公理化运动的热潮。最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，井证明了欧氏几何的相容性可以归结为算术的相容性。数学家们在为各数学分支建立公理体系的同时，通过完善所论体系的公理来探索新体系、新问题。 在数学走完19世纪的时候，数学家们是豪情满怀的，在19世纪末，领头的庞加莱、希尔伯特等人对数学的前途充满信心，1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的报告，提出了当时数学前沿尚未解决的23个问题，成为迎接20世纪挑战的宣言书，当然兴高采烈的数学卷子谁也没有想到，进入20世纪后第三次数学危机会那样凶猛的动撼着整个数学乃至整个自然科学的基础。

（未完待续）

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