许仁忠：20世纪以来的科学技术(140)

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（续）第十一篇 教学相长   学在教中 — 我的教学心得与感悟

  E：20世纪以来的科学技术

进入20世纪，科学与技术以令人难以想象的情况和状态飞跃式发展，各个学科。都有新思想，新发现，并且很快的转化成为应用技术进入实用领域。因为内容太多太丰富，我们也只能在这里作一个简单的基础的介绍，严格的说，当需要写这些文字的时候，笔者是明显的感觉到力不从心有点勉为其难，其实也是知识的欠缺。

首先来看看数学。从19世纪末20世纪初康托尔的“集合论”被逐渐的认为是数学的基础后，数学在集合能力基础上有了全方位的迅猛发展。在“集合论”的基础上，发展出来测度和积分理论，其中特别是勒贝格创造了他的积分理论，对后来的实函数论发展有着决定性的影响，并应用于调和分析、微分方程以及后来的泛函分析等学科。勒贝格积分在十几年之内有着各种各样的推广，特别是拉东积分统一了斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分，对于后来积分几何学乃至x射线成像理论都有重要的应用。当儒瓦发明了总体化过程，对于不可求和的导数证明微分和积分的互递性，从而得出了最一般的积分概念。

概率论虽然有300的年的历史，但到20世纪初概率的计算也没有很严格的基础，当时只有一些古典概率的基本概念以及大数定律和中心极限定理的原始地式，到20世纪20代，建立了大数定律与中心极限定理成立的充分必要条件。对于概率的数学基础，一直到波莱尔有意识地把概率论建立在测度论的基础上，建立了可数集的概率论，填补了古典概率以及几何概率之间的空白，概率论才有了可靠的数学基础。1933年，柯尔莫哥洛夫把概率论公理化，概率论才正式成为一门独立学科。

20世纪20年代到40年代，是概率论的英雄时代。在这个时期形成了莱维为代表的法国学派，柯尔莫哥洛夫、辛钦等人为代表的苏联学派。以及稍后的美国学派。这个时期研究了独立随机变随机过程。随机过程的最典型的例子是布朗运动，在爱因斯坦于1905年的物理解释基础上，维纳首先从数学上建立布朗运动的理论模型，其后列维从马尔科夫过程观点研究布朗运动，提出假定未来与过去无关这种强马尔科夫性质。后来发现马尔科夫过程的转移概率满足微分积分方程。

作为概率论的应用是数理统计，20世纪初皮尔逊构成相关性的理论，他引进了X分布，开辟了参数检验理论。后来，戈塞特开辟小样本检验方法，这些都是建立在古典概率的基础上的。20世纪20年代，费希尔一系列的理论与实活动促进了数理统计的极大发展。他主要的贡献是假设检验和实验设计，他还发展了方差分析方法的研究，后来在概率论公理化的基础上，奈曼等人奠定了统计假设检验的基础。

常微分方程到20世纪，主要是沿着庞加莱所开创的定性理论与李亚普诺夫所开创的稳定性理论继续发展，1912年，庞加莱对狹义三体问题证明存在无穷多周期解，但其中的一个关鍵的拓扑定理，他生前并未得到证明。他去世不到半年之后，由伯克霍夫加以证明。其后，他继续用拓扑方法研究回归问题，他的工作在1927年出版的《动力系统》一书中，他的极小极大方法后来被莫尔斯于1925年推广成为著名的莫尔斯理论，1934年，他的理论总结在《大范围变分法》一书中。

20世纪初，函数逼近论正式发展成为一门新学科，它后来通过泛函分析与最优化理论联系在一起。发散级数的求和理论也与数论应用结合在一起。傅里叶级数收敛性的研究也取得惊人结果，一方面存在L1中函数的傅里叶级数几乎处处发散，一方面1966一1967年证明Lp(p>1)中函数的傅里叶级数几乎处处收敛。

20世纪，几何学有了重新的分化和重组。1906年开始把埃尔朗根纲领同微分几何学结合起来，产生了射影微分几何学，其后又产生了仿射微分几何学。由于黎曼几何学和张量分析的技术被爱因斯坦用在广义相对论上，促进了微分几何学的飞跃发展。特别是1917年，列维-奇维塔引进了平行移动的概念，1918年，外尔引进了仿射联络的概念。其后，嘉当系统地发展了联络理论，他的工具是活动标架法。同时在相对论的剌激下，出现了一系列一般空间的几何学的研究，如芬斯勒空间。另一个经典问题是普拉扎回题，在20世纪30年代得到解决后，到20世纪60年代又由偏微分方程及微分几何学的进步而得到新的振兴。20世纪前期的代数几何学主要是意大利学派关于代数曲面的研究，1935年，扎里斯基把它总结在《代数曲面》一书中。

20世纪数学上最完美的成就是类域论的完成，希尔伯特在19世纪末总结了代数数论的成就，创建了类域论的系统，并提出一系列猜想。这一系列猜想在20世纪最初30年中得到了完美的证明。另一方面，亨塞尔引进了p进域，开创了局部域理论。同时，作为全局域，除了代数数域之外，还有基域为有限域的单变量代数函数域，从而使代数数论的内容更加丰富。局部与全局的关系表现在很多方面，最简单的情形是闵可夫斯基、哈塞的二次型定理一一哈塞原理。

20世纪的数学发展的一大特点是把一维推广到了高维，这在不同的领域存在着不同程度的困难，例如，多复变函数论在20世纪初，就发现即使是两个变量的复变函数，也同单复变函数有许多差异，尤其是相当于单复变函数中的单位圆或上半平面在多变量情形下是极其复杂多样的。最简单的情形是嘉当在1935年分类的有界对称域，但后来发现非对称的有界奇性域可以是不可数无穷那么多，这说明多复变函数论的困难。另外一个发展是嘉当等关于正则域的刻画，而后来的发展，势必靠新兴的代数拓扑学、抽象代数学、微分几何学与偏微分方程理论的发展才行。

20世纪的数学十分重视非确定性的研究，除了概率论与数理统计这种讨论随机性的数学分枝外，在20世纪60年代还诞生了讨论研究事物模糊性的模糊数学。传统的经典数学是研究和处理确定性事物的，它所研究的事物，要么A，要么非A。但在客观世界中，却大量存在着很多非确定性事物，这些非确定性事物，不是要么A要么非A，而是经常处于A与非A之间，举个直观的简单例例子：研究一个人吃午饭了没有？经典数学要么研究这个人吃了午饭的状况，要么研究这个没有吃午饭的状况，如果这个人正在吃午饭，经典数学研究出来就困难了，这种情况数学描述与处理方法最好是模糊数学。

模糊数学采用一个隶属函数，用来描述和处理那些经常处于A与非A之间的模糊状态的事物，而在客观实际中，大量的事物都是处于一种模糊状态的，这种处于模糊状态的事物对它进行数学描述和数学处理，传统的经典数学是无能为力的，20世纪60年代应运而生的模糊数学，正好是解决这类模糊问题的数学手段和工具。概率论和数据统计是对那种具有随机性的非确定性事物，进行数学描述和处理，而模糊数学是对那种具有模糊性的非确定性事物进行数学描述和处理。

有了模糊数学和概率论与数理统计，数学研究对家的领域由确定性事物迈向了非确定性事物，这使得能进行数学描述和处理的范围极大的扩展了。在客观世界中，确定性往往是相对的，非确定性才是绝对的，客观事物中更多的是具有随机性和模糊性这两种非确定性的事物，所以有了模糊数学和概率论及数理统计这两个数学分枝，数学所能够解决问题的范围就更加充裕了。

（未完待续）

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