许仁忠：20世纪以来的科学技术(141)

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（续）第十一篇 教学相长   学在教中 — 我的教学心得与感悟

20世纪的数学使人最为惊诧和震撼的是第三次数学危机，这个危机动撼了数学乃至整个自然科学的基础。经典数学以其精确性和完美的抽象思维，实现了自身作为自然科学的基础的使命。美中不足的是，它自身也有其称为“悖论”的矛盾以及不能尽善尽美地刻划和描述客观世界的缺陷。历史上三次数学危机对数学这一自然科学的基础提出了严峻挑战，造就了基础的震撼，

第一次数学危机是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

第一次数学危机是无理数的出现。古希腊毕达哥拉斯学派的宇宙理念是“万物皆数”，宇宙万物都是由自然数派生出来的，一生二、二生三、三生万物，世间万物都能用自然数也就是整数来表示。整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念，日常生活中不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间，为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

在古希腊的数学家看来,与有理数对应的点充满了数轴，因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时,在当时入们的心理引起了极大的震惊。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉䟷学派的成员首先获得的.这是数学史上的一个里程碑，毕达哥拉斯学派发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点相对应：表示边长为1的正方形的对角线长OP的P奌后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动.首先这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击, “万物皆数”破灭了；既然像√2（根号2）这样的无理数不能写成两个整数之比，那么它究竞怎样依赖于整数呢?数学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了.数学基础的严重危机爆发了，这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕。数学基础的严重危机爆发了这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密，据说米太旁登的希帕苏斯把这个秘密泄露了出去，结果被抛进大海，还有一种说法是将他逐出学派，并为他立了一个墓碑，说他已经死了.

这个“逻辑上的丑闻“是数学基础的第一次危机，既不容易也不能很快地被消除。大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家欧多克索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一“丑闻”.他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立，在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，欧几里德几何就是一个典范。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

第二次数学危机发生在微积分诞生之后的数学空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪，这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域．他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身他们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。也就是在这时，第二次数学危机发生了。

18世纪的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的。为什么会是这样呢?一个原因是有许多结果为经验和观测所证实，其中最突出的是天文学的预言，如哈雷慧星的再度出现。另一个原因是，那时的数学家确信，上帝数学化地设计了世界，而他们正在发现和揭示这种设计，这种信仰支撑着他们的精神和勇气，而丰硕的科学成果则养育着他们的心智，成为他们追求的精神食粮.

虽然在牛顿和菜布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科的基本概念也不满意。无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

对有缺陷的基础最强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教，他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误．偷换假设的错误是明显的．在论证的前一部分．假定0是非零的，而在论证的后一部分，它又被取为零。贝克莱说；“在我们假定增量消失时，理所当然，也得假设它的大小、表达式以及其他，由于他的存在而随之而来的一切也随之消失。”，他还说“总之，不论怎样看，牛顿的流数算法是不合逻辑的”这就是历史上著名的《贝克莱悖论》。

为了对当时分析中出现的谬误有所了解，我们再看看大数学家欧拉在他使用分析推理时出现的一些悖论。17世纪和18世纪的数学家们对无穷级数不大理解，以致在分析这个领域内出现了许多悖论。再如，考虑级数S=1+1-1+1-1+……，如果把级数以一种方法分组，我们有       S=(1-1)+(1-1)+……=0，如果按另一种方法分组．我们有S=1-(1-1)- (1-1)-……=1，于是1=0，这是很荒谬的，因为由此可以得到0=1=2=3=4=……，即是说“全体自然数相等”。L.G.格兰迪说，因为0和1是等可能的，所以这个级数的和应为平均数1／2，S=1+1-1+1-1+……= 1／2。这个值也能用纯形式的方法得到，事实上,S=1-(1-1+1-1+1-…)=1-S，由此有2S＝1，

或S＝1／2。

因此在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。事实上，可以说微积分在基础方面的状况比17世纪更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，所以他们的错误就被其他数学家不加批判地接受了，甚至作了进一步的发展。

自从贝克莱对牛顿所阐述的“无穷小”提出质疑之后，整个数学的大厦就面临了第二次数学危机。即将进入19世纪时，数学陷入更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料，但是大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。

直到19世纪初，法国数学家柯西成功地表达出了正确的极限概念，提出了一系列关于极限的定理来证明微积分的合理性，后来德国数学家魏尔斯特斯拉以ε-δ语言，系统建立了数学分析的严谨基础，他指出无穷小不是一个确定的数，而是反映变元或函数的一种状态；无穷小也不是零，但它的极限是零。魏尔斯特拉斯的工作基本上完成了分析的算术化，加上实数理论、集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来。这使数学走向了理性，微积分走向了理论，第二次数学危机基本解决。

（未完待续）

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