许仁忠：20世纪以来的科学技术(142)

发表评论 / 往事悠悠 / 作者：

（续）第十一篇 教学相长   学在教中 — 我的教学心得与感悟

微积分的发现把无限引入了数学，同时也引出了第二次数学危机。到19世纪末，分析的严格化问题得到了解决。柯西建立了严格的极限理论，魏尔斯持拉斯引进了ε-δ语言，戴德金、康托尔等又将实数理论严密化。分析有了可靠的基础和完整的体系。第二次数学危机终于过去了。这样1900年在巴黎举行的第二次国际数学家大会上，庞加莱高兴地指出：“我们最终达到了绝对的严密吗?在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点。如果他们被蒙蔽了，我们是不是也像他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！”

那时绝大多数数学家具有和庞加莱相同的看法，他们为数学所达到的严密性而欢欣鼓舞。但实际上，暴风雨正在酝酿，屋外云涛翻滚，山雨欲来．数学史上的一场新的危机正在降临。当时，还是有一些数学家已经清醒地认识到，数学基础中的漏洞并没有完全堵住。在这次会议上希尔伯特提出了他认为是数学发展中最重要的23个问题。

希尔伯特的第一个问题就是康托尔的连续统基数问题，这引出了1963年美国数学家科恩的重要工作。在第二问题中他提了相容性这个至关重要的问题。这两个问题都涉及到数学的基础是否稳固。可惜，许多数学家都没有意识到达个问题。即使是希尔伯特也没有预见到这个问题将会在怎样的广度和深度上席卷数学基础。

到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家们的承认。集合论成功地比应用到了其他它的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。但是，正当大家兴高采烈地庆贺数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次强烈的地震。

数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的。这次危机是由于在康托尔的一般集合论的边缘发现的悖论造成的。因为那么多数学分支都建立在集合论的基础上。所以集合论中悖论的发现自然引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。英国数学家罗素于1902年发现了一个悖论,它除了集合概念本身外不需要别的概念。

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

在描述罗素悖论之前,我们注意下面的事实：一个集合或者是它本身的成员，或者不是它本身的成员。例如，抽象概念的集合本身是抽象概念、但是所有人的集合不是一个人，又如，所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不是一个星。

我们以M表示是它们本身的成员的所有集合的集合。而以N表示不是它们本身成员的所有集合的集合。现在我们问：集合N是否是它本身的成员？如果N是他本身的成员，则N是M的成员，而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面如果N不是它本身的成员，则N是N的成员而不是M的成员，于是N是它本身的成员。悖论在于，无论是那一种情况，我们都得到矛盾。

罗素悖论曾以多种形式通俗化。这些形式中最著名的是罗素在1929年给出的，称为理发师悖论:某村的一个理发师宣你，他给所有不给自己刮脸人刮脸。于是出现这样的问题：理发师是否给自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，那他就违背了自己的原则；如果他不给自己刮脸，那他就应该为自己刮脸。

这种通俗化的悖论还有很多，例如机器人悖论：某工厂有很多机器人。有一个专门修理机器人的机器人，叫做X。X按规定只修理那些不会修理自己的机器人。那么，X给不给自己修理呢？又如图书目录悖论：图书目录本身也是书，所以它可能把自己也列入书中作为一条目录，也可能不列入自己。现在要求把那些不列入自己的目录编成一本目录，那么，它该不该把自己列入呢?如果它不列入自己，按要求它应当列入自己。如果列入自己，按要求又不该列入自己了。这些悖论说说有趣，好象与数学没有多大关系，但把面目一变，成了下面的罗素悖论就大不一样了：

罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。罗素悖论的更精确简单的表述是：如果存在一个集合A={X| X∉ A }，那么X∈A是否成立？如果它成立，那么X∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。

罗素悖论的特点是只用到“集合”、“元素”、“属于”这些最基本的概念，符合康托尔所主张的用描述集合元素性质的方法来定义集合的原则。从如此基本的概念出发竟推出了矛盾，这既表明在集合论中存在着大漏洞。而集合论是数学的基础，所有的数学体系都是建立在集合论基础上的，在基础出现了如此大的漏洞，确实让人不寒而栗，第三次数学危机就这样简单平淡的产生了。

罗素的悖论给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓舞的数学家们泼了一盆冷水。一向认为推理严密、结论永远正确的数学，竟在自己最基础的部分推出了矛盾！而推出矛盾的推理方法如此简单明了，正是数学家惯用的方法，数学方法的可靠性又何从说起呢？罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦。罗素将他的悖论写信告诉了数理逻辑的先驱弗雷格，而弗宙格正好完成他的关于算术基础的二卷巨著。弗雷格接到信后，在其著作的末尾伤心地写到：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时基础崩塌了。当本书的印刷快要完成时，罗素先生的信就使我陷入这样的境地。”。

对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。确实问题仅涉及数理逻辑和集合论，但它牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且就是有限数学，它的内容中也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

第三次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其它悖论。于是数学家们便忙碌起来。不久就出现了好几种公理系统。康托尔的集合论产生悖论的原因之一是，康托尔的集合论中有“一切集合的集合”的概念。为了不产生悖论，策梅洛在1908年提出一种公理系统。这种公理系统由弗兰克尔在1921年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统。简称ZF公理系统。但是，第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度。

承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在逐渐丧失。现代集合论的公理，难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

（未完待续）

1 2 3 4 5 … 9 10 11 12
许仁忠
Latest posts by 许仁忠 (see all)
Total Page Visits: 503 - Today Page Visits: 1

相关文章：

许仁忠：科学技术简史 (30) 许仁忠：路漫漫，吾将上下求索: 我的人生回忆 (致读者) 许仁忠：19世纪的欧洲科学技术与第二次工业革命(136) 许仁忠：路漫漫，吾将上下求索: 我的人生回忆 (4) 许仁忠：科学技术简史 (24) 许仁忠：三十一岁上大学 (2)

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注