有趣的概率问题（五）两个信封问题

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有两个一模一样的信封，里面都装有现金，其中一封是另一封的两倍。你可以随便选取一个信封，其中的现金是你的奖品。在你还未打开选好的信封之前，问：要不要换成另一个信封？

换，还是不换？

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决定换还是不换，准则只能是另一封信里的钱是否更多。

如何知道另一封信里的钱是否更多？在没有打开信封之前，不可能知道里面有多少钱，那是一个未知数，或者准确一点说，是个随机变量。对待随机变量，我们无法事先知道它的精确值，但有时能算出它的数学期望值。数学期望值，实际上就是我们常用的平均值。如果知道随机变量的概率分布，就可以算出它的数学期望值。比方说，如果随机变量$X$可以取值$a$和$b$，其期望值 $E(X)$ 就是 $E(X)=ap+bq$，其中$p$和$q$分别是$X=a$和$X=b$的概率。因为$X$只取$a$和$b$两个值，必定有 p+q=1。粗略地说，如果你不知道随机变量的精确值，往往可以用期望值代用。

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如何计算信封里现金的期望值呢？下面是一段推理，称之为推理一。

1：用$A$表示所选信封里的现金。
2：$A$是小钱的概率是$\frac{1}{2}$，$A$是大钱的概率也是$\frac{1}{2}$。
3：用$X$表示另一封信里的现金，则有$p = P(X=2A) = \frac{1}{2}$, $q = P(X=\frac{A}{2}) =\frac{1}{2}$。
4：所以$X$是一个随机变量，其数学期望值为$E(X) = \frac{1}{2}(2A)+\frac{1}{2}(\frac{A}{2}) =\frac{5}{4}A$。
5：因为$E(X)>A$，换是合理的选择。

这段推理有问题吗？似乎每一步都合情合理，中规中矩。

假如推理正确无误，那么再问：想不想换回原来的信封？

又该如何是好？

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细想的确有点不对劲，但问题出在哪里呢？

先看第4步。从期望值的计算来看，信封里的现金变成了要么是大钱$2A$，要么是小钱$\frac{A}{2}$，大钱小钱之比是4，明显和原题有出入。原题中的大钱小钱之比是2。

第4步的计算来自第3步，所以我们看第3步。第3步说，另一信封里的现金是大钱和小钱的概率各占一半，并无不妥。

再看第2步。有问题吗？

有！

细思极恐，问题就出现在不经意的细节。

不错，$A$是小钱和大钱的概率的确都是$\frac{1}{2}$，但大钱和小钱是不同的值，用同一个数$A$表示容易引起误解，后面的错误就是源于此处。实际上$A$是一个随机变量，它是大钱和小钱的概率各占$\frac{1}{2}$。

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我们换一个思路，看下面的推理二。

两个信封，一个里面的现金是$B$元，另一个是$2B$元。用$Y$表示所选信封里的现金数，则$Y$是一个随机变量。我们有$ P(Y = B) = \frac{1}{2}$和$P(Y = 2B) =\frac{1}{2}$。这里可以看出，$Y$是大钱时它的值是$2B$，$Y$是小钱时它的值是$B$，不能简单的用同一值表示。

用$X$表示另一信封里的现金数，则有 $P(X = 2B) = \frac{1}{2}$ 和 $P(X = B) =\frac{1}{2}$。所以$E(X)=\frac{1}{2}(2B) + \frac{1}{2}B = \frac{3}{2}B$。同样，$E(Y)=\frac{3}{2}B$。

两个信封里现金的期望值一模一样，交换不带来任何好处。

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下面的领带问题是一个变种，同样有趣。

情人节过后，两个男人在酒吧见了面，每人都打了一条新领带。甲说：“很高兴见到你，瞧我太太给我买的领带，又便宜又好。” 乙说：“可不是吗，我太太给我的领带更便宜更好。”于是两人顶上嘴了，都宣称自己的太太更加贤惠能干，买的领带更加实惠合适。好在两位都是绅士，决定用打赌的方法解决争端：谁的领带贵就把领带送给对方。

甲心里想：“如果我输了，输的是我的领带，如果赢了，就是赢更贵的领带，输和赢的概率都是$\frac{1}{2}$，因此期望值总是正数。这个赌只赢不亏。” 于是甲非常高兴。

乙也是同样的想法，自然眉飞色舞。

为什么会这样呢？

《摇篮上的纸牌游戏 – 寓言》，约翰内斯·范·维克斯洛特，十七世纪荷兰黄金时代画家