有趣的概率问题（五）两个信封问题

1

有两个一模一样的信封，里面都装有现金，其中一封是另一封的两倍。你可以随便选取一个信封，其中的现金是你的奖品。在你还未打开选好的信封之前，问：要不要换成另一个信封？

换，还是不换？

2

决定换还是不换，准则只能是另一封信里的钱是否更多。

如何知道另一封信里的钱是否更多？在没有打开信封之前，不可能知道里面有多少钱，那是一个未知数，或者准确一点说，是个随机变量。对待随机变量，我们无法事先知道它的精确值，但有时能算出它的数学期望值。数学期望值，实际上就是我们常用的平均值。如果知道随机变量的概率分布，就可以算出它的数学期望值。比方说，如果随机变量 $X$ 可以取值 $a$ 和 $b$ ，其期望值 $E (X)$ 就是 $E (X) = a p + b q$ ，其中 $p$ 和 $q$ 分别是 $X = a$ 和 $X = b$ 的概率。因为 $X$ 只取 $a$ 和 $b$ 两个值，必定有 p+q=1。粗略地说，如果你不知道随机变量的精确值，往往可以用期望值代用。

3

如何计算信封里现金的期望值呢？下面是一段推理，称之为推理一。

1：用 $A$ 表示所选信封里的现金。
2： $A$ 是小钱的概率是 $\frac{1}{2}$ ， $A$ 是大钱的概率也是 $\frac{1}{2}$ 。
3：用 $X$ 表示另一封信里的现金，则有 $p = P (X = 2 A) = \frac{1}{2}$ , $q = P (X = \frac{A}{2}) = \frac{1}{2}$ 。
4：所以 $X$ 是一个随机变量，其数学期望值为 $E (X) = \frac{1}{2} (2 A) + \frac{1}{2} (\frac{A}{2}) = \frac{5}{4} A$ 。
5：因为 $E (X) > A$ ，换是合理的选择。

这段推理有问题吗？似乎每一步都合情合理，中规中矩。

假如推理正确无误，那么再问：想不想换回原来的信封？

又该如何是好？

4

细想的确有点不对劲，但问题出在哪里呢？

先看第4步。从期望值的计算来看，信封里的现金变成了要么是大钱 $2 A$ ，要么是小钱 $\frac{A}{2}$ ，大钱小钱之比是4，明显和原题有出入。原题中的大钱小钱之比是2。

第4步的计算来自第3步，所以我们看第3步。第3步说，另一信封里的现金是大钱和小钱的概率各占一半，并无不妥。

再看第2步。有问题吗？

有！

细思极恐，问题就出现在不经意的细节。

不错， $A$ 是小钱和大钱的概率的确都是 $\frac{1}{2}$ ，但大钱和小钱是不同的值，用同一个数 $A$ 表示容易引起误解，后面的错误就是源于此处。实际上 $A$ 是一个随机变量，它是大钱和小钱的概率各占 $\frac{1}{2}$ 。

5

我们换一个思路，看下面的推理二。

两个信封，一个里面的现金是 $B$ 元，另一个是 $2 B$ 元。用 $Y$ 表示所选信封里的现金数，则 $Y$ 是一个随机变量。我们有 $P (Y = B) = \frac{1}{2}$ 和 $P (Y = 2 B) = \frac{1}{2}$ 。这里可以看出， $Y$ 是大钱时它的值是 $2 B$ ， $Y$ 是小钱时它的值是 $B$ ，不能简单的用同一值表示。

用 $X$ 表示另一信封里的现金数，则有 $P (X = 2 B) = \frac{1}{2}$ 和 $P (X = B) = \frac{1}{2}$ 。所以 $E (X) = \frac{1}{2} (2 B) + \frac{1}{2} B = \frac{3}{2} B$ 。同样， $E (Y) = \frac{3}{2} B$ 。

两个信封里现金的期望值一模一样，交换不带来任何好处。

6

下面的领带问题是一个变种，同样有趣。

情人节过后，两个男人在酒吧见了面，每人都打了一条新领带。甲说：“很高兴见到你，瞧我太太给我买的领带，又便宜又好。” 乙说：“可不是吗，我太太给我的领带更便宜更好。”于是两人顶上嘴了，都宣称自己的太太更加贤惠能干，买的领带更加实惠合适。好在两位都是绅士，决定用打赌的方法解决争端：谁的领带贵就把领带送给对方。

甲心里想：“如果我输了，输的是我的领带，如果赢了，就是赢更贵的领带，输和赢的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，因此期望值总是正数。这个赌只赢不亏。” 于是甲非常高兴。

乙也是同样的想法，自然眉飞色舞。

为什么会这样呢？

《摇篮上的纸牌游戏 – 寓言》，约翰内斯·范·维克斯洛特，十七世纪荷兰黄金时代画家