有趣的概率问题（一） Bertrand的盒子悖论

（1）

有三个外表一模一样的盒子，里面分别装有两枚硬币：其中一个两枚都是金币，一个两枚都是银币，剩下的则一金一银。现在随机选定一个盒子，并从里面随机抽取一个硬币，发现是金币，请问剩下的那枚也是金币的概率是多少？

这就是著名的Bertrand 盒子悖论(Bertrand’s box paradox)，最先由法国数学家Joseph Louis François Bertrand (11 March 1822 – 5 April 1900) 提出来的。

严格说来，这个不能算真正的悖论，它和说谎者悖论与理发师悖论不同：那两个悖论都叫你左右为难，不知所措，而这个却不同，只能算是一个难题。

它真是一个难题吗？难在什么地方呢？它的神秘之处在于：如果你匆忙作答，很容易给出错误的答案，读者不妨先试试看。

这个悖论也有一个变种，叫卡片悖论：有三张卡片，一张两面皆黑，一张两面皆白，剩下的则一面白一面黑。你随机抽取一张卡片平放在桌面上，发现是黑的，请问另一面也是黑色的概率是多少？

（2）

你的答案是什么呢？是1/2吗？如果是，恭喜你，你错了。

你的1/2绝对不是空穴来风，也许下面就是你的推理。

每个盒子被选中的机会是平等的。
既然有一个是金币，所以不可能是两个银币的那个盒子。
这样只能是剩下的两个盒子之一：要么两个都是金币，要么一金一银。
两个盒子被选中的机会是一样的，答案自然是1/2。

这个推理没问题呀，1/2只对不错。

但它确确实实是错误的！

到底哪里出了纰漏？正确的答案又是什么？

（3）

前三步的断言是正确的，纰漏就在第四步，那两个盒子被选中的概率是不一样的，这就涉及到了条件概率。

什么是条件概率？条件概率是指在已知某事件E发生后事某事件X发生的概率。

用A，B，C分别表示两个都是金币的盒子，两个都是银币的盒子和一金一银的盒子。用E表示抽出的硬币是金色的，用F表示另一枚硬币也是金色的。用P(X)表示盒子X被选中的概率，用P(X|Y)表示已知事件Y已经发生的情况下X发生的条件概率。一开始，我们的确 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，也即三个盒子被选中的概率各占三分之一。但是在已知E发生后，情况起了变化。比如，$P(B|E)=0$，换句话说，在已知一个是金币的情况下，两个都是银币就不可能了。

我们先回顾一下条件概率公式：$P(X|Y)=\frac{P(XY)}{P(Y)}$。

不难发现 $P(E)=\frac{1}{2}$。$P(EF)=P(A)=\frac{1}{3}$。于是有$P(F|E)=\frac{P(EF)}{P(E)}=\frac{2}{3}$。这才是正确的答案。

（4）

不用条件概率公式，能不能算出答案呢？能！我们们用 $(X,Y)$ 表示抽中的盒子是$X$，选出的硬币是 $Y$。于是所有的可能结果即样本空间是：(A, 金_1), (A,金2)，（Ｂ，银1），（Ｂ，银2），（C，金）和（C，银）。现在已知（A，金1）（A，金2）和（C，金）之一已经发生，因此两个都是金币的概率就是 $\frac{2}{3}$了。