2. 带信息的球
我们可以证明如下的结论：
引理一：如果$n$个带部分信息的球中恰有一个怪球，而且 $3^{k-1} < n\le 3^k$，则$k$次天平就能找出怪球并知其轻重；除了一个例外，就是$k=1$时，如果2个球1白1黑，则多少次都没法找到怪球。
引理二：如果 $n$个灰色球中恰有一个是怪球，但有正常球可以借用，且$ (3^{k-1}-1)/2 < n \le (3^k-1)/2$, 则用$k$次天平就能找出怪球并知轻重。
什么是有正常球可以借用？以 $k=3$为例说明一下。在 $n=13$的情况下，如何只用3次天平就找出怪球并知轻重？先借用9个正常球放在天平的一边，另一边放9个灰色球。如两边持平，则9个灰色球为正常球，涂上绿颜色。怪球在剩下的4个灰球中，再用两次天平就可找出怪球并知轻重了。如两边不平，灰球轻则将其涂上白色，重则涂上黑色，怪球必在这9个球中。因为有部分信息，用引理一，用两次天平也可找出怪球并知轻重了。如无正常球借用，3次是不可能一定从13个灰色球中找出怪球并知轻重的。我们可以3次找出其中的怪球，但有可能不知轻重，读者不妨仔细想想。
两个引理都可以用数学归纳法证明，这里从略。
有了这两个引理，就不难证明下面的定理了：
定理：如果$n=(3^k-3)/2$个不含任何信息（灰色球）的球中恰有一个怪球，则用$k$次天平就能找出怪球并知轻重。
证明：令 $x=(3^{k-1}-1)/2$, 则 $n=3x$。天平两边各放 $x$个球，称过之后有两种可能。
情形1， 天平持平：这时天平上的球都是正常球，涂上绿色。剩下的 $x$个灰球还是不带任何信息，但已有正常球可以借用。引用引理二，剩下的 $x$个球再用$k-1$次天平就能找出怪球并知轻重。
情形2，天平不平 : 将轻的那边的球涂上白色，重的那边涂上黑色，剩下的是正常球，涂上绿色。现在$2x$个球已有部分信息，由引理一可知再用$k-1$次天平便可找到坏球并知轻重。
在定理中令$k=3$，就是著名的12球问题了。
