与小孙女玩《数字华容道》（四）
杨益民
2023/08/08
没有关羽和曹操，只有数字和滑道。
无趣败兴会睡着，觉趣兴来乐淘淘。
第四次尝试与折腾：
今天小孙女进门就讓：“爷爷咱们又来探索吧！”嘢，这小不点居然口称“探索”，有点意思。
“探索什么呀？”我问。
答：“《数字华容道》啊！”
问：“不是咱们已经探索完了吗？“猜想”咱们也已经证明了啊！”
答：“可是你还没给我讲空白块不在右下角的情况啊！”
问：“你都知道只有垂直滑动能改变排列的奇偶性，空白块不在右下角的情况还想不明白吗？小笨笨。”
小孙女直瞪瞪地望着我，撅着嘴有些不高兴：“爷爷，我不和你玩了！”
遭了！看样子我的质疑有点伤了小孙女的自尊心。我连忙说：“哈哈！爷爷逗你玩的。你提的问题很好，咱们就来探索探索吧！”
于是，我和小孙女开始了《数字华容道》的第四次探索。
先回忆一下前面得到的结论：
1、空白格在右下角时，通过数字块的滑动奇排列不能还原为自然序，偶排列可以。我们将此规律简称为“偶行奇不行”。
2、只有垂直滑动才改变排列的奇偶性。
3、我们有两个熟知的特别排列：
（1）自然序
（2）“15-14”
自然序是我们最终要达成的目标，15-14是不可能还原为自然序的典型代表。
一、先“探索”空白格不在右下角，逆序数为奇数的情况。
问：恬恬，“15-14”为奇排列，把数字块12竖直下滑，它变成了什么排列？
答：“偶排列。问：“你怎么知道的？”
答：“‘15-14’是奇排列，数字块竖直滑动一次奇偶性改变啊！”
问：“好！棒棒哒！那此时空白块还在右下角吗？”
答：“不在。”
问：“它能还原为自然序吗？”
答：“不能。”
问：“为什么不能呢？”
答：“再把12滑上去，不是又变成“15-14”了啊，“15-14”不能还原为自然序啊！”
问：“好的，那再把8滑下去，它变成什么排列了啊？”
答：“奇排列！”
问：“空白块在右下角吗？”
答：“啊！我知道了，它是奇排列，空白块不在右下角，它还是不能还原为自然序。因为把8和12滑上去，又变成15-14。”
这小家伙恍然大悟了！我接着问：“这两个例子说明什么呢？”
答：“空白块不在右下角时，无论是奇排列，还是偶排列都不能还原为自然序！”
问：“肯定‘都不能’吗？还是‘都可能不能’？”
小孙女有些犹豫：“什么意思？”
于是我提示道：“有没有这种可能，空白块不在右下角时，无论是奇排列、偶排列都可以还原为自然序呢？”
小孙女望着我，有些茫然。我进一步提示：“你把‘自然序’也类似于刚才‘15-14’一样，滑动滑动看看啊！”
小孙女自己动手滑动“自然序”的12与8，
然后，嘟着嘴说：“爷爷，我知道了，当空白块不在右下角时，无论是奇排列，还是偶排列都有可能还原为自然序！”
我笑了：“那你前面的说法：‘空白块不在右下角时，无论是奇排列，还是偶排列都不能还原为自然序！’对吗？”
答：“不对，应该改成‘都可能不能’还原。”
问：“那当空白块不在右下角时，应该有什么结论呢？”
答：“当空白块不在右下角时，无论是奇排列，还是偶排列可能还原为自然序！也可能不能还原为自然序！”
“恬恬，非常不错哦！我们把这个结论称为‘命题4’好吗？”
命题4 当空白块不在右下角时，无论是奇排列，还是偶排列可能还原为自然序，也可能不能还原为自然序。
我一边鼓励，又一边提出可以新探索的问题：“恬恬，你能不能根据命题4、自然序和‘15-14’来编符合自己心意的题目？”
例如：编一道空白块在中间，逆序数为奇数，只需三步就知道无法还原的题目。
从永远无法还原的“15-14”出发，将12下滑，11右滑，7下滑，就得到这样一题：
我们水平滑动一次，竖直滑动了两次：奇――>偶――>奇，所以它的逆序数为奇数。如果算一下可知：它有7对逆序:（8,7）（9,7）（10,7）（13,12）（15,14）（15,12）（14,12）。而此题由“15-14”滑动变化而得，所以不能还原。
为了巩固巩固，我又写了几个题目，让小孙女在《数字华容道》上摆弄出来。
例如：构造一道逆序数为奇数，7步还原的题目。
因为此题要能还原，所以从自然序开始构造。又因为自然序为偶排列，构造要求逆序数为奇数，所以竖直滑动必须是奇数次。
小孙女构造过程如下：
第一步，15右滑，逆序数不变；
第二步，11下滑，逆序数变为奇数；
第三步，12左滑，逆序数不变；
第四步，8下滑，逆序数变为偶数；
第五步，7右滑，逆序数不变；
第六步，12上滑，逆序数变为奇数；
第七步，10右滑，题目构造完成：
这就是一道逆序数为奇数，只需按构造步骤相反的顺序滑动数字块7次，就可还原为自然序的题目。
愿意的话，易于算出此排列有9对逆序:（12,7）（12,9）（12,10）（12,8）（12,11）（9,8）（10,8）（13,11）（14,11），其逆序数为奇数9。
小孙女很高兴：“爷爷，回家我可以给爸爸妈妈编题，他们做不做得出来，我来决定。”
再总结：
1、水平滑动不改变排列的逆序数（奇偶性），竖直滑动改变排列的逆序数（奇偶性）。
2、当空白块在右下角时，奇排列不能还原为自然序！而偶排列能还原为自然序！
3、当空白块不在右下角时，无论是奇排列，还是偶排列都可能还原为自然序！也可能不能还原为自然序！
总结完后，我问：“恬恬，《数字华容道》探索完了吧？”
答：“是啊！”
问：“可是爷爷认为还没完，我们只探索了4×4的《数字华容道》，其它情况比如：3×3，5×5，6×6，……，都没有探索呢？愿意再探索一会儿吗？”
答：“好啊！”小孙女来劲了。
首先，无论几阶《数字华容道》，当华容道中某数字块水平滑动时，都不改变排列的逆序数（奇偶性）。因此，我们只关注竖直滑动。
先看看奇数阶《数字华容道》
和“恬恬，咱们还是从最简单的开始吧！”
1、让小孙女观察3×3《数字华容道》：
当华容道中某数字块竖直滑动时，必有2个数字块与滑动块的前后顺序改变，因此排列的逆序数改变2次，所以排列的奇偶性不变。（见下图）
2、让小孙女仔细想想5×5《数字华容道》：
当华容道中某数字块竖直滑动时，必有4个数字块与滑动块的前后顺序改变，因此排列的逆序数改变4次，所以排列的奇偶性不变。
3、引导小孙女得到：(2n+1)×(2n+1)奇数阶《数字华容道》：当华容道中某数字块竖直滑动时，必有2n个数字块与滑动块的前后顺序改变，因此排列的逆序数改变2n次，所以排列的奇偶性不变。
我继续提醒“想一想，类似地，我们是不是易得：
4、2n×2n偶数阶《数字华容道》：当华容道中某数字块竖直滑动时，必有2n-1个数字块与滑动块的前后顺序改变，因此排列的逆序数改变2n-1次，所以排列的奇偶性改变。
5、如果游戏开始时，空白块在右下角。考虑到竖直块滑动等价于空白块滑动，并且游戏结束时，空白块必须重新回到右下角。即游戏结束时，空白块（数字块）必须竖直移动偶数次，即排列的奇偶性不变。
由结论3-5最后得到如下定理2：
定理2 对于任意阶《数字华容道》游戏，如果游戏开始时，空白块位于右下角，排列为奇排列，则不可能通过滑动变成自然序。
至于长方形《数字华容道》问题，因为数字块上下移动对逆序数的影响只与行数有关，因此，结论类似。
最后我对小孙女强调说：“乖乖，通过这个游戏的探索，我们不光是要记住我们得到的这些结论。重要的是今后要自觉应用这样的探索和思维方法哦！”
一、遇到不解的问题，别放弃，可以先做几个特殊的试验，看看能否找到什么规律性的东西――猜想。
二、如果有规律性的东西，可再做几个试验来看看会不会出现反例，或加强我们的猜想。
三、设法对猜想进行一般性的证明，并设法推广到更一般的情形。一到三这个探索和思考过程，称为“从一般到特殊，再从特殊到更一般。”要自觉养成这种思维习惯哦！
四、如果有能力证明那当然很好，如果证明不了，又举不出反例。把问题留在脑海里。“机会垂青于有准备的头脑！”什么是“有准备的头脑”呢？那就是放了许许多多问题的脑袋！脑袋里装的问题越多，没准哪一天逐类旁通，机缘巧合，孤立的问题忽然连接，形成相互关联的网络，那就可能豁然贯通哦！
“爷爷，問題越放越多，爆炸了怎么办啊？”
“哈哈哈！那就表示你‘脑洞大开’啰！”
“什么是脑洞大开啊？真的爆炸吗？”
“怎么会呢！那就是你变得很聪明啰！不仅更会探索思考，而且像二郎神脑门中间开慧眼，长三只眼啰！”
……
至此，与小孙女玩《数字华容道》游戏全部完成。希望她能从中有所收获。😄😊
