Gödel数
Gödel的巧妙之处，就是给系统中的每个字母或符号x都赋予一个不同的数，叫做x的Gödel数，用$\mathcal{G}$(x)表示。在MIU系统中，比如 $\mathcal{G}$(M)=1, $\mathcal{G}$(I)=2, $\mathcal{G}$(U)=3, $\mathcal{G}$($\rightarrow$)=4。为了简化我们的叙述，再把分号“；”引进系统，并且赋值$\mathcal{G}$(;)=5。
一旦系统中的每个字母或者符号都安排了一个数，接下来就可给每个字符串安排一个数，具体做法如下。
假设$x=x_1x_2\cdots x_n$是个长度为$n$的字符串，其中$x_i$ 是系统中的一个字母或符号，我们定义 $\mathcal{G}(x)=p_1^{\mathcal{G}(x_1)}p_2^{\mathcal{G}(x_2)}\cdots p_n^{\mathcal{G}(x_n)}$， 其中 $p_1,p_2,\cdots, p_n$是前$n$个素数。 比如$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,p_6=13,p_7=17, p_8=19, p_9=23,\cdots$。
下面先看几个例子。
$\mathcal{G}(MI)=2^{\mathcal{G}(M)}3^{\mathcal{G}(I)}=2^13^2=18$,
$\mathcal{G}(IM)=2^{\mathcal{G}(I)}3^{\mathcal{G}(M)}=2^23^1=12$,
$\mathcal{G}(MIU)=2^{\mathcal{G}(M)}3^{\mathcal{G}(I)}5^{\mathcal{G}(U)}=2^13^25^3=2250$,
$\mathcal{G}(MIUIU)=2^{\mathcal{G}(M)}3^{\mathcal{G}(I)}5^{\mathcal{G}(U)}7^{\mathcal{G}(I)}(11)^{\mathcal{G}(U)}=2^13^25^37^{2}(11)^3=2994750$,
$\mathcal{G}(MI\rightarrow MIU)=2^{\mathcal{G}(M)}3^{\mathcal{G}(I)}5^{\mathcal{G}(\rightarrow)}7^{\mathcal{G}(M)}(11)^{\mathcal{G}(I)}(13)^{\mathcal{G}(U}$ $=2^13^25^47^1(11)^2(13)^3=a$,
$\mathcal{G}(MI;MI\rightarrow MIU)=2^{\mathcal{G}(M)}3^{\mathcal{G}(I)}5^{\mathcal{G}(;)}7^{\mathcal{G}(M)}(11)^{\mathcal{G}(I)}(13)^{\mathcal{G}(\rightarrow)}(17)^{\mathcal{G}(M)}(19)^{\mathcal{G}(I)}(23)^{\mathcal{G}(U)}$ $=2^13^25^57^1(11)^2(13)^4(17)^1(19)^2(23)^3=b,$
最后两个数有点大，就分别用a和b表示了。数字b是字符串“MI；MI$\rightarrow$MIU”的Gödel数。MIU 的Gödell数是2250。因为“MI；MI$\rightarrow$MIU”证明了“MIU”是定理，所以也可以简化成数字“b”证明了数字“2250”是个定理。
假如表达式P是个定理，我们就说它所对应的Gödel数$\mathcal{G}(P)$是一个定理数。我们前面问过：MU是定理吗？因为 $\mathcal{G}(MU)=2^{\mathcal{G}(M)}3^{\mathcal{G}(U)}=2^13^3=54$，所以也相当于问：54是定理数吗？
通过Gödel数，每个字符串都对应唯一一个数字，不同的字符串对应不同的数字。根据数论中的因子分解定理，我们可以反过来确定一个数字是不是一个字符串的Gödel数。如果是，它对应的符号串又是什么？
比如 $15=3^15^1$就不是系统中的Gödel数， $420=2^23^15^17^1$就是IMMM的Gödel数。
MIU是一个非常简单的形式系统，但通过它我们可以了解Gödel数的精髓。任意一个形式系统，Gödel数的定义是类似的，无非是字母和符号多些，公理和推导规则复杂些，加上定义表达式和规范表达式，如此而已。
最后，我们来回答一下，MU是不是MIU系统中的一个定理？回答是否定的：不是！
如何证明呢？在MIU系统内无法证明，跳出系统之外才能证明。
我们要证明的是，如果一个表达式是个定理，表达式中I的数目一定不是3的倍数。
观察系统中的4条推导规则，规则1和4不会改变I的数目。如果原定理中I的数目是n，根据规则3，新定理中的I的数目就是n-3；根据规则2，新定理中I的数目就是2n。所以如果原定理中I的数目不是3的倍数，则新定理中I的数目也不可能是3的倍数。由于公理MI中I的数目是1，不是3的倍数，所以任何一个定理中I的数目都不是3的倍数。
由于MU中I的数目是0，所以MU不是定理。又由于$\mathcal{G}(MU)=54$，所以54不是定理数。
（未完待续）
网站的编辑平台是 WordPress，非常 high-level。我曾和编辑讨论如何到 low-level 去调用 HTML 和 JavaScript 进行文字/页面界面处理，没有找到途径。从页面的源代码看，这里的数学符号展示是通过 MathJax 现实的。请教一下，G 的哥特字体的 MathJax 代码 $\mathcal{G}$ 是如何被 WordPress 接受的？它接受 TeX/LaTeX、HTML 和 JavaScript 吗？
原问是：请教一下，G 的哥特字体的 MathJax 代码 \mathcal{G} 是如何被 WordPress 接受的？
这个问题得问老板王赤了。我给他的是Latex文件，不知他是如何做的。
这个问题要请教王赤了。
这个网站用的wordpress支持的MathJax。它直接支持\mathcal{G}。一般数学相关的 latex command 都行。只是不支持非数学的text format 指令，比如\section{ }, \noindent, \ol, \ul 一类的。
谢谢！