杨益民 2020/1/15
何谓数学？数学是发明，还是发现？数学是真理吗？要回答这些问题，需从人类认识事物的方法谈起。
首先我们知道人类感官的能力是有限的。人的感官是为人类生存而设定的，而不是为求真而设定的。这是由人类感官的生物学特性所决定的。
那么直觉呢？直觉其实不过是感官与经验的总结。它有时能给我们灵感，但也常常无效。那么我们如何才能获得真理呢？
人类是会思维的万物之灵，我们除感官外，还有一个远远超过其它物种的高度发达的大脑。
那么人类是如何通过大脑去认识事物的呢？这里我们不去探讨人类大脑认识事物的生物学机制。而只关注人类认识事物的方式与方法。
1.归纳：这里所说的归纳，是一般意义的归纳，而非数学归纳法。它是根据一类事物的部分对象具有某种性质，就归纳出这类事物的全体对象都具有这种性质的思维或推理方法。归纳是从特殊到一般的思维方式。
例如：解剖50只麻雀，发现它们都有胃，就归纳断言所有麻雀都有胃。又如：观察50只苹果，发现它们都是红色的，就归纳断言所有苹果都是红色的。前者归纳正确，后者归纳错误。
2.类比：根据两个或两类对象的部分属性相同，从而推出它们的其它属性也相同的思维方法。
例如：解剖50只麻雀，发现它们都有苦胆，将麻雀与鸽子类比，发现它们都是鸟类，有很多属性相同。于是得出鸽子也有苦胆。而实际上鸽子没有苦胆。又如鸭嘴兽和针鼹是哺乳动物，但它们不是胎生，而是卵生。
依赖感官与直觉得到结论的思维方式，可以称为感性思维。而归纳与类比，可以称为合情思维。它们时而有效，时而无效。那么要认识世界，探索自然的真理，我们还能靠什么呢？
3.演绎：从前提出发，通过逻辑推理，而得到结论的方法称为演绎。演绎思维常常被称为理性思维。
必须强调的是：演绎推理的特点是：通过严格逻辑推理，演绎得到的结论，与前提同样正确（或错误）。
那么，我们如何能保证前提正确呢？显然，前提不能来自于是感官、直觉、归纳、类比和演绎自身。要保证前提的正确，前提只能“是，且必须是”“不证自明的真理”――公理（数学上也称为公设）。
从独立自洽不证自明的公理出发，经过严密的逻辑推理得到的一个形式逻辑系统，称为公理系统。
演绎思维与感官思维和合情推理思维相比较，它有如下优点：
1、如果前提确定无疑，则结论也确定无疑，千真万确；
2、它不依赖于任何仪器、设备和实验，只依赖于前提与逻辑（大脑），这就使我们可以在任意时空结构与范围中展开广阔无限的推理，拓广人类对于无限外部世界的认识。
演绎思维进入数学标志着数学精神的诞生。欧几里得“几何原本”是人类思想史上第一个演绎体系（公理系统），它具有无与伦比的崇高地位。它的影响远远超出了数学，对整个人类文明都带来了巨大影响。从几个简单公理和定义出发，通过逻辑推理就得到一个庞大的，十分有用与合理的几何结构。使得希腊及其后的文明了解到演绎的力量，抚育了一种理性精神。在西方《几何原本》是除《圣经》外，出版最多的著作。
欧几里得几何的“真理性”增强了人们利用演绎推理获得成功的信心。人们认为演绎思维是获得绝对真理的唯一方法。人们力图尽可能地把理性精神应用于各种领域，数学家自不待言，物理学家、哲学家、神学家、经济学家、甚至政治家、许多真理的追求者们都纷纷效仿欧几里得模式，来建立他们自己的理论。
问题是：如何保证公理“不证自明”呢？
显然，它既不能依赖于感性思维与合情思维，也不能依赖于理性思维或演绎推理自身（因为它是理性思维或演绎推理的基石与起点）。
随着非欧几何、罗素悖论以及哥德尔不可能性定理的出现，使得演绎推理的真理性，及数学的确定性丧失。因为只要你去寻找思维的起点，亦即用思想想思想，用理性拷问理性的源与流，你就必然陷入罗素所谓的自我指谓和哥德尔的悖论之中。显然这正是人类理性永远也不可能突破的必然局限。
一方面数学与演绎推理的真理性丧失了。但另一方面这也使数学与演绎推理获得了更大的自由与解放。人们可以建立任何可能的公理，自由地通过演绎推理探索未知世界，建立全新的理论和不同的、甚至相互矛盾的公理体系。
令人吃惊的是，这些公理体系或人类大脑思维的纯粹产物，往往在它建立很多年后（甚至上百年），随着科学技术的革命与发展，它们却与实践结合的如此之好，应用及其广泛。对于这种现象，爱因斯坦说：这是人类思维的最大之谜！
那么何谓数学？它是发明，还是发现呢？从古希腊哲学家、数学家到数学史上的三大哲学流派等，给出了各种数学定义与解释。但至今没有统一普适的定义。
毫无疑问数学首先是一个演绎逻辑体系。
对于什么是数学，大数学家、哲学家罗素曾给出一个看似无理烧脑困惑，实则充满睿智的回答：“数学是这样一门学科，我们永远不知道它说的是什么，也不知道它说的是否正确。”
一、“永远不知道它说的是什么”
是的！数学模式的主体是谁？是纯粹心智创造的抽象世界？还是客观世界？或可能世界？
数学系统基于公理，而很多时候公理完全是数学家纯粹心智的产物，它创造之初与现实世界毫无关联。
只有当数学家发明了公理，或者更形象的说“数学种子”，数学才能由此出发，并逻辑推演展开。因此“数学种子”已经完全蕴含了数学发展的相应内容（定理、命题、公式，以及整个相应的数学分支系统）。换言之，“数学种子”早已决定了它将长成什么样的树、开出什么样的花、结出什么样的果。
从这个意义上讲，数学当然是发明，而非发现。数学家们乃是“数学种子”的“上帝”。他们创造发明了它，赋予了它旺盛的生命力。这生命一旦诞生，便开始了它自主独立的逻辑推理的历史，创立数学的理念世界。因此，也决定了纯粹数学世界是一个不具任何经验内容的纯粹理念世界。
至于数学的成功应用，也只能表明它后天的现实有效性，这与数学是否源于现实世界，完全是两码事。
既然数学是凭数学家的心智发明建构的超验性的理念世界，公理甚至可以替换与修改（如《欧几里得几何》第五公设的修改替换，得到了与之完全不同的另两套非欧几何体系――黎曼几何与罗巴切夫斯基几何）。显然，我们自然也不知道它说的是什么了。
微分几何方面作出过重要贡献，他开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。
二、“也不知道它说的是否正确”
首先，我们必须指出：数学真理并非一般意义上的真理。数学的真理性只是逻辑的真理性，它依赖于“不证自明”的“数学种子”为真或为假。因此，这种真理性只是一种相对真理，是相对于特定数学体系中的“数学种子”为真。而“数学种子”是数学家的心智或数学直觉的产物，至于它是否是真理，数学家很少或暂可不去理会它。而是基于其上去逻辑推断、发现（而非发明）“种子”已经内蕴的丰富而深刻的数学体系。
因此，从此角度看：数学也是发现（发现播种之后树木或森林会如何生长）。
于是，我们便也不难理解罗素那后半句话了。对于数学命题或定理我们只能问，也只需问它是否通过了正确的逻辑证明，至于它是否与现实世界相符？是否是现实真理？那是不得而知或也无需要知道的。所以我们“也不知道它说的是否正确?”
综上所述，数学是一个演绎逻辑体系，是理性精神的代表，是发明也是发现，是逻辑真理，而非真理！
《咏数学》
杨益民
2016/10
乾坤造化奇，太虚渺无边。
须弥藏永恒，毫厘纳无限。
大象无形中，真理何处探？
数学摹万象，演绎识洞天。
随机辨偶然，模糊清梦魇。
天道观兆基，变幻察宇寰。
妙策济苍生，纬地复经天。
亿载而不朽，发明又发现。
抽象穷无极，永恒追美善。
冷峻凝壮美，理性攀峰巅。
精神何独立，意志更超然。
心开即顿悟，意闭皓首难。
精骛超八极，驰骋万里天。
人生无穷已，求索路漫漫。
注1：《咏数学》中的“模糊”指模糊数学，“随机”指随机数学。
注2：文章所说的数学，主要指纯粹数学及其思维方式。
杨大娃写的什么
“印象派”摄影😂😅
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