芝诺悖论与庄子二分法

芝诺悖论与庄子二分法
杨益民
2023/04/07

昨天看一个关于美国数学家、投资家西蒙斯的视频，他讲到他三岁时，与爸爸一起开车出去，路上爸爸说车没油了，需要去加油站加油。小西蒙斯责怪爸爸说：“你应该先用油箱里油的一半，再用剩下的一半的一半，……，如此下去，油箱里的油就永远也用不完啊！”这正是芝诺悖论的翻版，可见三岁的小西蒙斯有多天才。

于是，不知哪根筋被触动了，就东拉西扯的写了此文。

一、徘徊的幽灵

“古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了粮食”――N.布尔巴基

“有时候逻辑也会生出怪蛋”――庞加莱

“无穷！任何其它问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他的观点都不曾如此有效的激发人类的智力；然而没有任何概念比无穷更需要澄清。……”
――大卫.希尔伯特

无穷与悖论这对孪生子，双头怪和思维世界的幽灵，这个超感官知觉的幽灵始终在人类思维的各个领域游荡、徘徊、缠绕。

从古至今无数的哲学家、数学家、物理学家、……持续争论的问题的源头都可追溯到这个幽灵。

它的神秘性是启发人类心智的源泉，它的吊诡性又是吞噬人类思维的黑洞。

对于这种幽灵，无论你是赞叹、疑惑或恐惧，只要你坚持不懈深入思考，最终大概率都会被带入到数学、物理领域。因为只有在数学、物理领域才有它们最深刻的根基。

芝诺悖论与庄子二分法就是这种思维幽灵在人类思想史上中最早的体现。

二、芝诺悖论与庄子“二分法”

大哉芝诺，鼓舌如簧；任你说什，总归荒唐。

芝诺悖论与庄子“二分法”大概是人类思想史上，最早涉及到“无穷”的悖论。

芝诺共提出四个悖论，分别论证“时空无限可分”和“时空有最小不可分割的单位”两个相互矛盾的命题。

1、阿里基追不上乌龟

芝诺争辩道：阿里基永远追不上起步稍微领先于他的乌龟。因为当他到达乌龟的起步点时，乌龟又向前爬到了它的第二个起步点。阿里基要追上乌龟，就必须通过乌龟的所有起步点。但乌龟的起步点有无穷多，所以虽然阿里基与乌龟的距离可以无限的小，但永远也追不上乌龟。

为了更便于理解，我们将此悖论具体化：假设阿里基的速度是乌龟的10倍。

芝诺争辩道：瞧，尽管两者的距离在不断缩短――100码，10码，1码，0.1码，0.01码，……，但永远不会为零，因为任意长度的距离都可以用10无限地除下去。

哈哈！古希腊跑得最快的人――阿里基输在了起跑线上！这真是一个难以解释的悖论！

2、芝诺“跑步者悖论”与庄子“二分法”

“阿里基追龟悖论”的变体是“跑步者悖论”

芝诺争辩说：跑步者要到达终点，需要无穷多步骤（无穷多个距离的一半），所以他永远到不了终点。

芝诺悖论在中国的翻版，那就是庄子的“无限二分法”：“一尺之棰，日截其半，万世不竭。”

容易算得，每日截后，棰余下的长度构成如下无穷数列：
1/2，1/2²，……，1/2ⁿ，……

我的妈！这可是无穷多个非零长度啊！直观上无穷多个非零长度之和应该是无穷长吧？但这无穷多个非零长度就是从那根长度为1尺的棰截下来的啊！这又是一个难以解释的悖论的！

芝诺悖论在数学发展史上的地位与作用巨大，它极大地促进了数学思想的发展和数学逻辑推理方法的严格化。

事实上，以上悖论利用微积分学理论都很容易理解与解释。这里，不去详解，只强调指出其根本思想：

两个有限量相等意味着这两个量的差等于零。

一个无穷变化的量与一个有限量相等，则意味着随着不断变化，这两个量的差无限趋于（极限等于）零。即：它们的差的绝对值可以小于预先给定的任意小的正数ε。

通俗而言就是：随着变化的深入，这两个量的差你一丁丁点点都找不着，找不出差，可不就是没有差吗？那这两个量岂不是就相等吗！

这正是微积分学极限理论中“ε-N”定义的根本含义所在。

利用极限理论，我们也可类似解释为什么：1/3=0.333……，1=0.999……，
这是因为：随着循环节n的无限增加，0.33……和0.99……的前n项和S_n分别与1/3和1的差的极限等于零。

三、芝诺悖论与庄子“二分法”之哲思

在这一部分，将对芝诺悖论与庄子“二分法”做一点拓广性的思考。我们知道芝诺悖论本质上与庄子“无限二分法”是完全等价的。因此，下面我们就只说庄子“二分法”的进一步哲思了。

1、庄子“二分法”哲思之一

“一尺之棰，日截其半，万世不竭。”但一尺之棰真可以无限分割吗？

或一般地：世间万物无限可分吗？空间与时间无限可分吗？物质世界存在构成物质的不可再分的最基本粒子吗？

如果万物无限可分，直观上是否就意味着不存在构成物质的基本粒子？那么上帝真是从乌有中创造了世界吗？

正如《创世纪》说：起初神创造天地，地是空虚混沌，渊面黑暗；神的灵运行于水面上。神说“要有光”，就有了光。……”

如果万物不是无限可分，那么庄子的木锤与其它物质都存在不可再分的基本单位（或基本粒子），木锤就不可能万世不竭的分下去。这正好是原子论者所持的观点。

那么物质到底是什么？它的存在本身就是一种幻觉吗？从现代物理学我们知道，物质由原子组成，比起原子核和围绕原子核的电子，原子的壳层显得巨大无比。

有物理学家形容说：如果把原子核比做一只蚊子，原子壳层就是一座音乐大厅。除了电子与原子核，这个巨大的壳层里还存在什么呢？答案是虚空。

那么一尺之棰里存在着巨大的虚空，可是被一尺之棰打一棍还是会真疼的！

英国著名物理学家，原子物理之父欧内斯特·卢瑟福通过氦核粒子轰击实验，得出结论认为：

（1）电子游走的原子壳层决定了原子的体积。
（2）原子的全部质量都几乎集中在微小的原子核上。
（3）原子核是实实在在的某种结实的东西。

遗憾的是，卢瑟福错了，原子核的内部也是空的。原子核其实也是一团云雾，而不是坚固的结构。云雾中有一些夸克在穿行，而夸克之间也都是空虚的。

所以，整个原子其实几乎都是由虚空组成的，即便原子壳层中的电子，及原子核中的夸克都真真实实的存在，它们也基本不占据空间。

物质的真实性状是我们的感官无法全然体会到的，它们的组成成分没有固定的外形。基本粒子也不是小球，而是一种能态。

英国物理学家詹姆士·金斯（James Jeans）曾说：“物质就像害怕、惊吓、不安这类情感，企图用体积来描述它们是毫无意义的。”

这些本身并没有形态和体积的粒子彼此建立了联系，虚空就有了形状。于是，我们就产生了幻觉，以为自己生活在一个由各种实在物体组成的世界里。

大哲学家、数学家莱布尼茨曾提出：“为什么存在者存在，而无却不存在？”

实际上，如果将“无”看作绝对真空，必然会陷入“自我指谓”的悖论之中。因为考虑一切都不存在，你已经预设了那不存在之物其实存在了，更何况思考者――你就在这“一切”之中。

“无”绝不是绝对真空的状态，而是一种无形的状态。正如德国物理学家、科普作家斯特凡·克莱茵所描写：“无，是一个还未开演的舞台，是一个一切都有可能出现的空间。人类所感知和经历的一切都是这个舞台上的一出戏――无中有序，一闪而过。这些有序的事物，我们称之为铁锤、大拇指、地球、天空、男人和女人。”

由此，我也不禁想起老子的《道德经》：“天下万物生于有，有生于无。”“道生一，一生二，二生三，三生万物。”

在《道德经》中生万物的“有”与“三”是什么关系呢？我说不清，但无论怎样，按老子的说法都是“有生于无”，即“无”是万物之母（始）啊！

当然，要理解老子的这个“无”的真实含义并不容易。老子的“无中生有”或许不是说的存在论问题，而是认识论问题。未知的事物称为“无”，因此“不可名”，而已知的事物称为“有”，因此“可名”。“无中生有”乃是说的认识规律是从“无知到有知”，从“不可名到可名”。

数学公理集合论首先确定了三个公理：“存在公理”、“外延公理”以及“分离公理模式”。

“存在公理”断言存在一个集合，但并不知道这个集合的任何信息。

分离公理则构造出一个确切的集合——空集，并解决了罗素悖论。并由此建立以集合论为基础的整个数学大厦。

这是否可以认为，整个数学大厦也是从“无（空集）到有”呢？

2、庄子“二分法”哲思之二

我们把庄子之棰想象为一盏开关由定时器控制的灯。最初灯开着，开1分钟后，定时器把灯关闭；关闭1/2（30秒）分钟后，又把灯开1/2²（15秒），……，如此无限继续下去。

亦即：一般地开（或关）了n秒后，接着就把灯关（或开）n/2秒。那么，我们将问：

（1）2分钟结束时，灯开关了多少次？

显然，我们可以用不断缩短的时间值：
1，1/2，1/2²，……，1/2ⁿ，……
来表示灯的持续开关状态。由于

1+1/2+1/2²+……+1/2ⁿ……=1/（1-1/2）=2

即：2分钟结束时灯开关了无穷多次。

（2）2分钟结束时，灯开是开着，还是关着？

注意到：由于结束时间2不在开关状态序列
1，1/2，1/2²，……，1/2ⁿ，……中，而是这个开关状态序列的和。即尽管开关了无穷次，但其所用时间永远无法达到结束时间2。

所以我们被迫承认在2分钟结束时，灯既没有开，也没有关。灯是开着，还是关着，我们永远也不会知道。

（3）最终开关灯的速度是多少？

定时器开关的速度随着开关的次数无限增大，开关的速度将会达到光速。根据现代物理学可知：没有任何事物的速度能够超过光速。开关速度太快了，你血定额（薛定谔）了，头都炸了，测不准了！

难怪2分钟结束时，我们无法预测灯是开着，还是关着。

3、庄子“二分法”哲思之三

在数学上无穷个数相加得到的表达式称为无穷级数。如果无穷级数的和存在，则称其收敛。否则，称它发散。

例如：前面所述的数列
1， 1/2，1/2²，……，1/2ⁿ，……
将它的各项加起来，就得到一个无穷级数
1+1/2+1/2²+……+1/2ⁿ……

而1+1/2+1/2²+……+1/2ⁿ……=1/（1-1/2）=2

所以，我们说无穷级数1+1/2+1/2²+……+1/2ⁿ……收敛，其和为2（或收敛于2）。

观察这个级数，无穷个非零项相加不是无穷大，而是有限数2。这是由于它的通项1/2ⁿ随着项数n的无限增大而无限趋近于零。即1/2ⁿ是一个无穷小量。

下面的这个无穷级数称为“调和级数”。
1+1/2+1/3+……+1/n……
它的通项是1/n也是无穷小量。直观上想它肯定应该收敛吧！如果你用计算机算算看，那么你会得到：

调和级数前一千项之和约等于：7.485；
调和级数前一百万项之和约等于：14.375；
调和级数前十亿项之和约等于：21；
调和级数前一万亿项之和约等于：28。

或许你雄心万丈，希望调和级数的前N项之和达到100。那么数学家会告诉你，这需要将10⁴³这么多的项相加。这是一个巨大无比的天文数字，直到宇宙毁灭，你也不可能计算不完啊！

这些试算结果，应该进一步增强了你的信心。调和级数是收敛的，而且调和级数的和还不会太大。

但遗憾的是，调和级数不仅发散，而且发散到无穷大！即
1+1/2+1/3+……+1/n……=∞
从前面试算，可知它发散到无穷大的速度太慢、太慢、太慢了，使其欺骗了我们的直觉，认为它一定会收敛。直觉太不中用！

实际上，调和级数的发散性，且其和为无穷大早在几百年前就被数学家尼古拉.奥勒姆（1322―1382）所证明。从那以后，已经有多种证明调和级数发散的方法。

但所有的证明都没有给出其发散速度的任何线索，调和级数的通项1/n与前n项和也没有哪怕是最细微的线索，说明调和级数会发散到无穷大。

调和级数的发散性真是太不可思议了！而且这个结论绝对不可能通过感官、直觉、试算和常识得到，只有通过演绎推理才能获得。

挪威天才数学家阿贝尔（1802-1829）曾说：“发散级数是魔鬼创造的，…… ，……这些级数产生了那么多谬误和悖论……。”

注：当代最快的计算机的最高计算速度还不到每秒6×10¹⁶次。

4、庄子“二分法”哲思之四

前面我们由庄子“二分法”得到一个数列
1/2，1/2²，……，1/2ⁿ，……
这个数列的通项1/2ⁿ随着项数n的无限增大而趋于零。这样的数列称为无穷小数列（或无穷小量）。

例如：数列：
1，1/2，1/3，……，1/n，……
也是无穷小量。

对于有限数，我们知道：大大小于1的正数相乘其积更小，乘得越多其积越小。

那么对于无穷级数，是否也应该有类似结论：因为极限趋于零的量是无穷小量，那么无穷小量乘积的极限也应该趋于零，它们自然也应该是无穷小量。而且无穷小量乘得越多其积更应该是无穷小量。

例如以上两个无穷小量的乘积为：

（1/2）×（1），（1/2²）×（1/2），……，（1/2ⁿ）×（1/n），……

显然仍然是无穷小量。

利用微积分学知识，很容易证明：有限个无穷小量之积仍然为无穷小量。

但令人吃惊，万万想不到的是：无穷个无穷小量之积却不一定为无穷小量。其反例如下：

反例1和反例2已经不可思议，反例3就更绝。因为C即可选任意常数，也可选任意函数。那么这可列无穷个无穷小量之积想等于什么（常数、函数），就可以等于什么！

面对无穷感官、常识、直觉真的是非常无力，而逻辑演绎推理就是这么技高何止n筹！

事实上，无穷小量的神秘性曾引起“第二次数学危机”。英国哲学家、大主教乔治·贝克莱曾对牛顿，莱布尼茨的微积分理论提出诘难：无穷小量难道是“消逝了的鬼魂”吗？

“第二次数学危机”推进了微积分学的严格化进程，使实数理论与极限理论成为微积分学的坚实基石。

四、结束语

从以上讨论的芝诺悖论与庄子“二分法”及其哲思说明：只要牵涉到无穷，无论是无穷大，还是无穷小，人类的感官、直觉、常识等感性思维能力真的是非常无力。

由此，或许你会联想到：我们（或人类）生存的宇宙也是一个无穷大，我们被一个浩瀚而无穷大的宇宙包围着，无论在地球上产生智慧生命的概率多小多小，但在无限的宇宙中，必然存在很多很多的行星，根据“大数定律”随着行星数量的增多，即便是最不可能发生的事情也几乎必然发生。即在宇宙中出现非人类智慧生命的可能性几乎是必然的。

另一方面，根据宇宙物理学家宇宙产生于“大暴胀”的理论，暴胀之前的宇宙是挤在一个无穷小（比原子核还小的多）的空间里。

由无穷小的玩意儿在短到极致的时间里，暴胀出来一个无穷大的宇宙。真是太诡谲而不可思异了。

暴胀理论还得出一个更诡谲的结论：宇宙忽然膨胀会使量子涨落产生不同结构，所有这些结构都能随之扩大到宇宙级别，分别形成具有不同特性的宇宙――多重宇宙。

正如开篇所讲：从古至今无数的哲学家、数学家、物理学家、……持续争论的问题其源头都可追溯到这种幽灵――无穷之悖论。

“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下。”此乃时间无穷之叹惋！

“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流。”此乃空间无穷之感概和无穷远之极限的意象表达。

“那无限空间里的无比寂静使我感到无比恐惧”――布莱兹.帕斯卡《思想录》